Équation différentielle du second ordre avec amortissement fluide : y'' + 2 y' + _0^2 y = 0

Terminale Technologique · Mathématiques STL Terminale

À retenir

• Équation canonique : y'' + 2 y' + _0^2 y = 0. • Équation caractéristique : r^2 + 2 r + _0^2 = 0. • ' = ^2 - _0^2 (ou = 4(^2 - _0^2)). • Lien avec le facteur de qualité : Q = _0/2.

Le cours

Modélisation avec frottement visqueux Dans un milieu fluide (eau, huile, air), un oscillateur subit une force de frottement proportionnelle à la vitesse F_f = - v, ce qui conduit à la forme canonique : Équation différentielle canonique : y''(t) + 2 y'(t) + _0^2 y(t) = 0 où > 0 est le coefficient d'amortissement (en s^-1) et _0 > 0 la pulsation propre. Autre écriture usuelle, avec le facteur de qualité Q : y''(t) + _0/Q y'(t) + _0^2 y(t) = 0 avec 2 = _0/Q Équation caractéristique associée : r^2 + 2 r + _0^2 = 0 Discriminant : = 4^2 - 4_0^2 = 4(^2 - _0^2), du signe de ' = ^2 - _0^2. On compare donc simplement et _0. Dissipation d'énergie Le terme en y'(t) représente la perte d'énergie sous forme thermique (effet Joule en électricité, échauffement visqueux en mécanique). L'amplitude des oscillations diminue inéluctablement. Pour un système masse-ressort de masse m et de raideur k freiné par - v, l'équation m y'' + y' + k y = 0 donne 2 = /m et _0^2 = k/m.

Dans ce chapitre

• Dérivées successives et fonctions sinusoïdales de Première STL
• Dérivée seconde et recherche des extremums d'une fonction de Première STL
• Résolution d'équations du second degré à coefficients réels de Première STL
• Équations différentielles du second ordre et oscillateurs harmoniques (STL)
• Équations différentielles du premier ordre y' + ay = b appliquées aux cinétiques de laboratoire
• Constante de temps et détermination graphique dans un échangeur thermique de laboratoire
• L'oscillateur harmonique non amorti : équation y'' + _0^2 y = 0
• Pulsation propre _0, période T_0 et fréquence propre f_0 d'un oscillateur
• Détermination des amplitudes et phases par les conditions initiales de position et vitesse
• Équation différentielle du second ordre avec amortissement fluide : y'' + 2 y' + _0^2 y = 0
• Classification des régimes d'amortissement : apériodique, critique et pseudo-périodique
• Oscillations forcées et phénomène de résonance dans un capteur de laboratoire
• Méthode d'Euler pour la résolution numérique approchée d'une équation différentielle
• Bilan : Synthèse et méthode sur les équations différentielles des 1er et 2nd ordres appliquées