Constante de temps et détermination graphique dans un échangeur thermique de laboratoire

Terminale Technologique · Mathématiques STL Terminale

À retenir

• Équation : dy/dt + y = y_. • Méthode des 63% : y() = y_0 + 0,632 (y_ - y_0). • Tangente à l'origine : coupe l'asymptote y_ en t = . • Régime permanent considéré comme atteint à t 5.

Le cours

Définition de la constante de temps Lors d'une réponse indicielle du 1er ordre (échauffement ou refroidissement selon la loi de Newton) régie par dy/dt + y = y_ : Constante de temps : si l'équation est écrite y' + ay = b avec a > 0, on a = 1/a et y_ = b/a (en secondes ou minutes). Elle caractérise la rapidité du système : plus est petit, plus la réponse est rapide. Réponse à un échelon croissant (y(0)=0) : y(t) = y_(1 - e^-t/). À t = : y() = y_(1 - e^-1) 0,632 y_ (soit 63,2 % de la variation totale). À t = 3 : y(3) 0,95 y_ (95 %). À t = 5 : y(5) 0,993 y_ (99,3 %, régime permanent atteint en pratique). Réponse décroissante (y(0)=y_0 vers 0) : y(t) = y_0 e^-t/. À t = , y() = y_0 e^-1 0,368 y_0 (chute de 63,2 %, reste 36,8 %). Méthode de la tangente à l'origine La tangente à la courbe en t=0 a pour équation y(t) = y_0 + y_ - y_0/ t. Elle coupe l'asymptote horizontale y = y_ exactement à l'abscisse t = .

Dans ce chapitre

• Dérivées successives et fonctions sinusoïdales de Première STL
• Dérivée seconde et recherche des extremums d'une fonction de Première STL
• Résolution d'équations du second degré à coefficients réels de Première STL
• Équations différentielles du second ordre et oscillateurs harmoniques (STL)
• Équations différentielles du premier ordre y' + ay = b appliquées aux cinétiques de laboratoire
• Constante de temps et détermination graphique dans un échangeur thermique de laboratoire
• L'oscillateur harmonique non amorti : équation y'' + _0^2 y = 0
• Pulsation propre _0, période T_0 et fréquence propre f_0 d'un oscillateur
• Détermination des amplitudes et phases par les conditions initiales de position et vitesse
• Équation différentielle du second ordre avec amortissement fluide : y'' + 2 y' + _0^2 y = 0
• Classification des régimes d'amortissement : apériodique, critique et pseudo-périodique
• Oscillations forcées et phénomène de résonance dans un capteur de laboratoire
• Méthode d'Euler pour la résolution numérique approchée d'une équation différentielle
• Bilan : Synthèse et méthode sur les équations différentielles des 1er et 2nd ordres appliquées