Équations différentielles du premier ordre y' + ay = b appliquées aux cinétiques de laboratoire

Terminale Technologique · Mathématiques STL Terminale

À retenir

• Équation : y' + ay = b (a 0). • Solution générale : y(t) = K e^-at + b/a. • Valeur d'équilibre stationnaire : y_ = b/a. • Forme avec condition initiale y(0) = y_0 : y(t) = y_ + (y_0 - y_)e^-at.

Le cours

Structure des solutions de y' + ay = b Soit a et b deux constantes réelles avec a 0 : Équation homogène associée (y' + ay = 0) : les solutions sont y_h(t) = K e^-at avec K R. Solution constante particulière : en posant y_p(t) = C^ste, y_p' = 0 a y_p = b y_p = b/a. Solution générale : y(t) = K e^-at + b/a Détermination de K : fixée par la condition initiale y(0) = y_0, d'où K = y_0 - b/a, ce qui conduit à : y(t) = (y_0 - b/a) e^-at + b/a Comportement asymptotique (a > 0) Quand t +, le terme transitoire e^-at 0. La grandeur rejoint asymptotiquement sa valeur d'équilibre stationnaire y_ = b/a. Lecture en cinétique de laboratoire Pour une réaction d'ordre 1, la concentration d'un réactif vérifie [A]' + k[A] = 0 (ici a = k, constante de vitesse, et b = 0), donc [A](t) = [A]_0 e^-kt. Si l'on alimente en continu le réacteur avec un débit constant d (en molL^-1s^-1), on obtient C' + kC = d : la concentration tend vers C_ = d/k.

Dans ce chapitre

• Dérivées successives et fonctions sinusoïdales de Première STL
• Dérivée seconde et recherche des extremums d'une fonction de Première STL
• Résolution d'équations du second degré à coefficients réels de Première STL
• Équations différentielles du second ordre et oscillateurs harmoniques (STL)
• Équations différentielles du premier ordre y' + ay = b appliquées aux cinétiques de laboratoire
• Constante de temps et détermination graphique dans un échangeur thermique de laboratoire
• L'oscillateur harmonique non amorti : équation y'' + _0^2 y = 0
• Pulsation propre _0, période T_0 et fréquence propre f_0 d'un oscillateur
• Détermination des amplitudes et phases par les conditions initiales de position et vitesse
• Équation différentielle du second ordre avec amortissement fluide : y'' + 2 y' + _0^2 y = 0
• Classification des régimes d'amortissement : apériodique, critique et pseudo-périodique
• Oscillations forcées et phénomène de résonance dans un capteur de laboratoire
• Méthode d'Euler pour la résolution numérique approchée d'une équation différentielle
• Bilan : Synthèse et méthode sur les équations différentielles des 1er et 2nd ordres appliquées