L'oscillateur harmonique non amorti : équation y'' + _0^2 y = 0

Terminale Technologique · Mathématiques STL Terminale

À retenir

• Équation : y'' + _0^2 y = 0. • Solution : y(t) = A (_0 t) + B (_0 t). • Forme condensée : y(t) = Y_(_0 t + ). • Pulsation propre : _0 = k/m (ressort) ou _0 = 1LC (circuit électrique).

Le cours

Modèle de l'oscillateur harmonique idéal Un système conservatif sans frottement (pendule élastique, circuit LC idéal) est modélisé par l'équation différentielle linéaire du 2nd ordre : Équation différentielle canonique : y''(t) + _0^2 y(t) = 0 où _0 > 0 est la pulsation propre (en rads^-1). Vérification : pour y(t) = (_0 t), on a y''(t) = -_0^2(_0 t) = -_0^2 y(t) ; il en va de même pour (_0 t), donc pour toute combinaison des deux. Forme générale des solutions (combinaison linéaire) : y(t) = A (_0 t) + B (_0 t) (A, B R) Forme amplitude-phase : y(t) = Y_ (_0 t + ) avec Y_ = A^2 + B^2, () = AY_ et () = -BY_. Conservation de l'énergie mécanique Les oscillations sont purement périodiques et d'amplitude constante au cours du temps : il n'y a aucune dissipation d'énergie. Pour un système masse-ressort, E_m = 1/2m v^2 + 1/2k y^2 reste constante : l'énergie passe de la forme potentielle (aux élongations extrêmes) à la forme cinétique (au passage par l'équilibre).

Dans ce chapitre

• Dérivées successives et fonctions sinusoïdales de Première STL
• Dérivée seconde et recherche des extremums d'une fonction de Première STL
• Résolution d'équations du second degré à coefficients réels de Première STL
• Équations différentielles du second ordre et oscillateurs harmoniques (STL)
• Équations différentielles du premier ordre y' + ay = b appliquées aux cinétiques de laboratoire
• Constante de temps et détermination graphique dans un échangeur thermique de laboratoire
• L'oscillateur harmonique non amorti : équation y'' + _0^2 y = 0
• Pulsation propre _0, période T_0 et fréquence propre f_0 d'un oscillateur
• Détermination des amplitudes et phases par les conditions initiales de position et vitesse
• Équation différentielle du second ordre avec amortissement fluide : y'' + 2 y' + _0^2 y = 0
• Classification des régimes d'amortissement : apériodique, critique et pseudo-périodique
• Oscillations forcées et phénomène de résonance dans un capteur de laboratoire
• Méthode d'Euler pour la résolution numérique approchée d'une équation différentielle
• Bilan : Synthèse et méthode sur les équations différentielles des 1er et 2nd ordres appliquées