Détermination des amplitudes et phases par les conditions initiales de position et vitesse

Terminale Technologique · Mathématiques STL Terminale

À retenir

• y(t) = y_0 (_0 t) + v_0/_0 (_0 t). • Amplitude maximale : Y_ = y_0^2 + (v_0/_0)^2. • () = y_0Y_ et () = -v_0_0 Y_. • Le signe du sinus fixe le quadrant du déphasage .

Le cours

Identification univoque de la trajectoire Une équation différentielle du 2nd ordre sans second membre admet une infinité de solutions à deux paramètres. Les conditions initiales permettent de fixer la solution physique unique : Conditions initiales (à t=0) : position y(0) = y_0 et vitesse y'(0) = v_0. Dans la base \ (_0 t), (_0 t) \ : y(t) = A (_0 t) + B (_0 t) y'(t) = -A_0 (_0 t) + B_0 (_0 t) En t=0 : y(0) = A = y_0 et y'(0) = B_0 = v_0 B = v_0/_0 Passage à la forme amplitude-phase y(t) = Y_ (_0 t + ) : Y_ = A^2 + B^2 = y_0^2 + (v_0/_0)^2 () = y_0Y_ et () = -v_0_0 Y_ Interprétation énergétique Pour un système masse-ressort (_0^2 = k/m), l'énergie mécanique totale E_m = 1/2 k y_0^2 + 1/2 m v_0^2 = 1/2 k Y_^2 est entièrement déterminée dès l'instant initial t=0.

Dans ce chapitre

• Dérivées successives et fonctions sinusoïdales de Première STL
• Dérivée seconde et recherche des extremums d'une fonction de Première STL
• Résolution d'équations du second degré à coefficients réels de Première STL
• Équations différentielles du second ordre et oscillateurs harmoniques (STL)
• Équations différentielles du premier ordre y' + ay = b appliquées aux cinétiques de laboratoire
• Constante de temps et détermination graphique dans un échangeur thermique de laboratoire
• L'oscillateur harmonique non amorti : équation y'' + _0^2 y = 0
• Pulsation propre _0, période T_0 et fréquence propre f_0 d'un oscillateur
• Détermination des amplitudes et phases par les conditions initiales de position et vitesse
• Équation différentielle du second ordre avec amortissement fluide : y'' + 2 y' + _0^2 y = 0
• Classification des régimes d'amortissement : apériodique, critique et pseudo-périodique
• Oscillations forcées et phénomène de résonance dans un capteur de laboratoire
• Méthode d'Euler pour la résolution numérique approchée d'une équation différentielle
• Bilan : Synthèse et méthode sur les équations différentielles des 1er et 2nd ordres appliquées