Dérivées successives et fonctions sinusoïdales de Première STL

Terminale Technologique · Mathématiques STL Terminale

À retenir

• (( t))' = - ( t) et (( t))' = ( t). • Pour f(t) = A( t + ) : f'(t) = -A( t + ). • Dérivée seconde : y''(t) = (y'(t))' ; pour f(t) = ( t), f''(t) = -^2 f(t). • Si y(t) = A( t) + B( t), alors y''(t) = -^2 y(t).

Le cours

Rappels de dérivation et dérivées secondes de Première STL Les oscillateurs (pendules, circuits RLC, molécules en vibration) font intervenir la dérivée seconde y'' : Dérivée de fonctions sinusoïdales : (( t))' = - ( t) et (( t))' = ( t) Dérivée seconde : (( t))'' = (- ( t))' = -^2 ( t) (( t))'' = ( ( t))' = -^2 ( t) Toute fonction de la forme y(t) = A ( t) + B ( t) vérifie la relation : y''(t) = -^2 y(t) y''(t) + ^2 y(t) = 0 Avec une amplitude et une phase à l'origine Pour f(t) = A( t + ), on dérive comme (u) avec u = t + et u' = : f'(t) = -A ( t + ) et f''(t) = -A^2 ( t + ) = -^2 f(t) Mini-exemple : pour g(t) = 5(2t), on obtient g'(t) = 10(2t) puis g''(t) = -20(2t) = -4\,g(t). La phase ne change pas la pulsation : elle se recopie telle quelle.

Dans ce chapitre

• Dérivées successives et fonctions sinusoïdales de Première STL
• Dérivée seconde et recherche des extremums d'une fonction de Première STL
• Résolution d'équations du second degré à coefficients réels de Première STL
• Équations différentielles du second ordre et oscillateurs harmoniques (STL)
• Équations différentielles du premier ordre y' + ay = b appliquées aux cinétiques de laboratoire
• Constante de temps et détermination graphique dans un échangeur thermique de laboratoire
• L'oscillateur harmonique non amorti : équation y'' + _0^2 y = 0
• Pulsation propre _0, période T_0 et fréquence propre f_0 d'un oscillateur
• Détermination des amplitudes et phases par les conditions initiales de position et vitesse
• Équation différentielle du second ordre avec amortissement fluide : y'' + 2 y' + _0^2 y = 0
• Classification des régimes d'amortissement : apériodique, critique et pseudo-périodique
• Oscillations forcées et phénomène de résonance dans un capteur de laboratoire
• Méthode d'Euler pour la résolution numérique approchée d'une équation différentielle
• Bilan : Synthèse et méthode sur les équations différentielles des 1er et 2nd ordres appliquées