Équations différentielles du second ordre et oscillateurs harmoniques (STL)

Terminale Technologique · Mathématiques STL Terminale

À retenir

• Équation harmonique : y'' + _0^2 y = 0. • Solutions : y(t) = A (_0 t) + B (_0 t). • Conditions initiales : A = y(0) et B = y'(0)/_0. • Période propre : T_0 = 2/_0, fréquence f_0 = _0/2.

Le cours

Équation différentielle du second ordre y'' + _0^2 y = 0 Elle régit tous les oscillateurs harmoniques sans amortissement (circuit LC idéal, pendule élastique sans frottement) : Solutions générales : y(t) = A (_0 t) + B (_0 t) (A, B R) ou sous forme d'amplitude-phase : y(t) = Y_ (_0 t + ). Pulsation propre _0 (en rad/s) : Circuit LC : _0 = 1LC. Système masse-ressort : _0 = k/m. Période propre : T_0 = 2/_0, soit T_0 = 2 LC pour un circuit LC et T_0 = 2m/k pour un système masse-ressort. Fréquence : f_0 = 1/T_0. Détermination des constantes par les conditions initiales À t = 0, la position (ou tension) et la vitesse (ou intensité) fixent A et B : y(0) = A (0) + B (0) = A. Donc A = y(0). y'(t) = -A _0 (_0 t) + B _0 (_0 t) y'(0) = B _0 B = y'(0)/_0.

Dans ce chapitre

• Dérivées successives et fonctions sinusoïdales de Première STL
• Dérivée seconde et recherche des extremums d'une fonction de Première STL
• Résolution d'équations du second degré à coefficients réels de Première STL
• Équations différentielles du second ordre et oscillateurs harmoniques (STL)
• Équations différentielles du premier ordre y' + ay = b appliquées aux cinétiques de laboratoire
• Constante de temps et détermination graphique dans un échangeur thermique de laboratoire
• L'oscillateur harmonique non amorti : équation y'' + _0^2 y = 0
• Pulsation propre _0, période T_0 et fréquence propre f_0 d'un oscillateur
• Détermination des amplitudes et phases par les conditions initiales de position et vitesse
• Équation différentielle du second ordre avec amortissement fluide : y'' + 2 y' + _0^2 y = 0
• Classification des régimes d'amortissement : apériodique, critique et pseudo-périodique
• Oscillations forcées et phénomène de résonance dans un capteur de laboratoire
• Méthode d'Euler pour la résolution numérique approchée d'une équation différentielle
• Bilan : Synthèse et méthode sur les équations différentielles des 1er et 2nd ordres appliquées