Bilan : Synthèse et méthode sur les équations différentielles des 1er et 2nd ordres appliquées

Terminale Technologique · Mathématiques STL Terminale

À retenir

• Premier ordre : y' = ay + b donne y(t) = Ke^at - b/a, avec = -1/a si a _0) : aucune oscillation.

Le cours

Bilan 1 : équations du premier ordre Une équation y' = ay + b (avec a 0) a pour solutions y(t) = K e^at - b/a, la constante K étant fixée par y(0). Si a Bilan 2 : régimes d'oscillations et amortissement Sans frottement, y'' + _0^2 y = 0 donne y(t) = A(_0 t) + B(_0 t), avec A = y(0) et B = y'(0)/_0. Dans un circuit RLC réel ou un oscillateur mécanique avec frottements, l'équation s'écrit : y'' + 2 y' + _0^2 y = 0 ( > 0 coefficient d'amortissement) Régime pseudo-périodique ( Régime critique ( = _0) : retour le plus rapide à l'équilibre sans oscillation (amortisseurs de voiture, galvanomètres). Régime apériodique ( > _0) : retour lent à l'équilibre sans oscillation. Méthode générale Diviser par le coefficient de la dérivée la plus haute pour obtenir la forme de référence. Chercher une solution constante si le second membre est constant. Écrire la solution générale, puis fixer les constantes avec les conditions initiales. Vérifier : remplacer dans l'équation, contrôler y(0), la limite et l'unité. Sans solution exacte, utiliser la méthode d'Euler : y_n+1 = y_n + h\,y'_n avec un pas h petit devant .

Dans ce chapitre

• Dérivées successives et fonctions sinusoïdales de Première STL
• Dérivée seconde et recherche des extremums d'une fonction de Première STL
• Résolution d'équations du second degré à coefficients réels de Première STL
• Équations différentielles du second ordre et oscillateurs harmoniques (STL)
• Équations différentielles du premier ordre y' + ay = b appliquées aux cinétiques de laboratoire
• Constante de temps et détermination graphique dans un échangeur thermique de laboratoire
• L'oscillateur harmonique non amorti : équation y'' + _0^2 y = 0
• Pulsation propre _0, période T_0 et fréquence propre f_0 d'un oscillateur
• Détermination des amplitudes et phases par les conditions initiales de position et vitesse
• Équation différentielle du second ordre avec amortissement fluide : y'' + 2 y' + _0^2 y = 0
• Classification des régimes d'amortissement : apériodique, critique et pseudo-périodique
• Oscillations forcées et phénomène de résonance dans un capteur de laboratoire
• Méthode d'Euler pour la résolution numérique approchée d'une équation différentielle
• Bilan : Synthèse et méthode sur les équations différentielles des 1er et 2nd ordres appliquées