Cercle trigonométrique et radian

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• 180^ = rad, donc 1^ = /180 rad et 1 rad 57,3^. • Un angle au centre de radians intercepte, sur un cercle de rayon R, un arc de longueur L = R. • Sur le cercle trigonométrique, le sens direct est le sens inverse des aiguilles d'une montre et un tour complet mesure 2.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental Le **cercle trigonométrique** est le cercle de centre O et de rayon 1, muni d'une orientation : le sens direct (sens anti-horaire ou trigonométrique positif). - Le **radian** est l'unité de mesure d'angle telle qu'un angle au centre de 1 rad intercepte un arc de cercle de longueur égale au rayon (1). - **Correspondance degrés / radians** : 180^ = rad 360^ = 2 rad - Formule de conversion : mesure en rad = mesure en degrés /180. - Deux réels x et x' repèrent le même point sur le cercle si et seulement si x' = x + 2k (k Z). ### 2. Représentation visuelle et schéma clé cos θ sin θ M(cos θ ; sin θ) θ Cercle trigonométrique (Rayon R = 1) : cos²(θ) + sin²(θ) = 1 ### 3. Longueur d'arc et méthode de conversion - Sur un cercle de rayon R, un angle au centre de radians intercepte un arc de longueur L = R. Sur le cercle trigonométrique (R = 1), la longueur de l'arc est donc égale à la mesure de l'angle en radians. - **Degrés vers radians** : multiplier par /180. **Radians vers degrés** : multiplier par 180/. - Valeur d'un radian : 1 rad = (180/)^ 57,3^, un peu moins qu'un sixième de tour. - **Méthode rapide** : pour une mesure de la forme p/q, remplacer par 180^ donne directement les degrés, par exemple 5/6 = 5 180^/6 = 150^. - **Sens** : une mesure positive se lit dans le sens direct (inverse des aiguilles d'une montre), une mesure négative dans le sens des aiguilles d'une montre.

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