Lignes trigonométriques des angles associés pi/2 - x et pi/2 + x

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• **Angles complémentaires (/2 - x)** : (/2 - x) = (x) et (/2 - x) = (x) • **Quart de tour direct (/2 + x)** : (/2 + x) = -(x) et (/2 + x) = (x) • Ces formules permettent de transformer une équation en (x) = (a) en une équation purement en cosinus.

Le cours

Dans le cercle trigonométrique, le passage d'un angle x à l'angle complémentaire /2 - x correspond géométriquement à une symétrie axiale par rapport à la première bissectrice (la droite d'équation y = x). Cette réflexion échange abscisse et ordonnée : le point (a ; b) devient (b ; a). D'où la permutation entre cosinus et sinus : (/2 - x) = (x) et (/2 - x) = (x) Le point associé à /2 + x s'obtient, lui, en faisant tourner le point M(x) d'un quart de tour dans le sens direct autour de O : le point (a ; b) devient (-b ; a). On obtient donc : (/2 + x) = -(x) et (/2 + x) = (x). Méthode. Devant /2 x : on échange cosinus et sinus, puis on fixe le signe en testant un petit angle aigu x (le point obtenu est-il à gauche ou à droite, en haut ou en bas ?). Exemple : avec x = /6, (/2 + /6) = (2/3) = -1/2 = -(/6) et (2/3) = 32 = (/6). Ces formules prolongent la propriété du collège : dans un triangle rectangle, le sinus d'un angle aigu est égal au cosinus de l'autre angle aigu, car les deux angles sont complémentaires.

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