Dérivées des fonctions cosinus et sinus et lien avec les variations

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• **Dérivées usuelles** : ( x)' = - x et ( x)' = x • **Formes composées affines** (a R) : ((ax + b))' = -a (ax + b) et ((ax + b))' = a (ax + b) • **Variations sur [0 ; ]** : - Comme x 0 sur [0 ; ], '(x) = - x 0 : la fonction cosinus est décroissante sur [0 ; ]. - '(x) = x est positif sur [0 ; /2] et négatif sur [/2 ; ] : sinus croît puis décroît.

Le cours

Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur R. Leurs formules de dérivation relèvent du programme de Terminale ; on les présente ici en prolongement du chapitre : '(x) = -(x) et '(x) = (x) Pour une fonction composée avec une expression affine x ax + b, la règle de Première (g(ax + b))' = a\,g'(ax + b) donne : ((ax + b))' = -a(ax + b) et ((ax + b))' = a(ax + b). Méthode pour étudier les variations. 1. Calculer la dérivée. 2. Étudier son signe sur l'intervalle, en lisant le signe de ou de sur le cercle trigonométrique (le sinus est positif sur le demi-cercle supérieur, le cosinus sur le demi-cercle de droite). 3. Dresser le tableau de variations : un extremum apparaît là où la dérivée s'annule en changeant de signe. Cohérence avec le cercle. Sur [0 ; ], (x) 0, donc '(x) = -(x) 0 : on retrouve que cosinus est décroissante sur [0 ; ]. De même, '(0) = (0) = 1 : la tangente à la courbe du sinus à l'origine est la droite d'équation y = x.

Dans ce chapitre