Enroulement de la droite numérique et repérage de points sur le cercle

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• **Périodicité géométrique** : les réels x et x + 2k (k Z) ont le même point image sur le cercle trigonométrique. • **Mesure principale** : c'est l'unique mesure de l'angle appartenant à l'intervalle ]- ; ]. • **Méthode de calcul** : pour x = p/q, retrancher à p le multiple de 2q le plus proche, ce qui revient à enlever un nombre entier de tours 2k.

Le cours

L'enroulement de la droite numérique sur le cercle trigonométrique associe à chaque nombre réel x R un unique point M du cercle de rayon 1, appelé point image de x. On imagine une droite graduée tangente au cercle au point I(1 ; 0), son zéro placé en I. On l'enroule autour du cercle : la partie positive dans le sens direct (inverse des aiguilles d'une montre), la partie négative dans le sens des aiguilles d'une montre. Le réel x vient se poser sur le point M tel que la longueur de l'arc parcouru depuis I soit |x|. Ainsi 0 a pour image I(1 ; 0), /2 a pour image J(0 ; 1), le point (-1 ; 0) et -/2 le point (0 ; -1). Comme un tour complet du cercle mesure 2, deux réels qui diffèrent d'un multiple entier de 2 (x et x + 2k avec k Z) viennent s'enrouler sur le même point M. La recherche de la mesure principale consiste à identifier l'unique représentant de cet angle dans l'intervalle ]- ; ]. Méthode. Pour x = p/q, un tour complet s'écrit 2q/q : on retranche au numérateur p le multiple de 2q le plus proche. Par exemple, 11/4 = 8/4 + 3/4 = 2 + 3/4 : la mesure principale est 3/4 et le point image est en haut à gauche du cercle.

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