Fonctions cosinus et sinus

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• Cosinus et sinus sont périodiques de période 2 : (x + 2) = (x) et (x + 2) = (x). • Cosinus est paire (courbe symétrique par rapport à (Oy)), sinus est impaire (courbe symétrique par rapport à O). • Sur [0 ; ], cosinus décroît de 1 à -1 ; sinus croît de 0 à 1 sur [0 ; /2] puis décroît de 1 à 0.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental 1. Les **fonctions cosinus et sinus** sont définies sur R par x (x) et x (x) ; leurs valeurs sont toujours comprises entre -1 et 1. 2. **Périodicité** : pour tout x R, (x + 2) = (x) et (x + 2) = (x). Les fonctions cosinus et sinus sont **périodiques de période 2** : leurs courbes se reproduisent par translations de 2. 3. **Parité** : - (-x) = (x) : la fonction cosinus est **paire** (courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (Oy)). - (-x) = -(x) : la fonction sinus est **impaire** (courbe symétrique par rapport à l'origine O). 4. **Variations sur [- ; ]**, lues sur le cercle : quand x va de 0 à , le point M parcourt le demi-cercle supérieur de (1 ; 0) à (-1 ; 0) et son abscisse diminue. - Cosinus est croissante sur [- ; 0] et décroissante sur [0 ; ] : maximum 1 en 0, minimum -1 en - et en . - Sinus est décroissante sur [- ; -/2], croissante sur [-/2 ; /2], décroissante sur [/2 ; ] : minimum -1 en -/2, maximum 1 en /2. ### 2. Méthode : tracer et exploiter les courbes - Étudier la fonction sur [0 ; ] suffit : la parité donne la partie sur [- ; 0] (symétrie d'axe (Oy) pour cosinus, de centre O pour sinus), puis la périodicité donne toute la courbe. - La courbe du sinus se déduit de celle du cosinus par une translation de /2 vers la droite, car (x) = (x - /2). - Cosinus s'annule en /2 + k, sinus en k (k Z). - Pour a > 0, les fonctions x (ax) et x (ax) sont périodiques de période 2/a. - Pour montrer qu'une fonction f définie sur R est paire (ou impaire), on calcule f(-x) et on le compare à f(x) (ou à -f(x)).

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