Résolution d'équations trigonométriques

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• (x) = (a) x = a + 2k ou x = -a + 2k, avec k Z. • (x) = (a) x = a + 2k ou x = - a + 2k, avec k Z. • Les équations (x) = c et (x) = c n'ont de solution que si -1 c 1.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental 1. **Équation (x) = (a)** : x = a + 2k ou x = -a + 2k (k Z) 2. **Équation (x) = (a)** : x = a + 2k ou x = - a + 2k (k Z) Pour trouver les solutions dans un intervalle donné (par exemple [0 ; 2] ou ]- ; ]), on teste les différentes valeurs entières de k. ### 2. Méthode de résolution sur un intervalle 1. **Isoler** (x) ou (x) pour obtenir (x) = c ou (x) = c. Si c 1, il n'y a aucune solution. 2. **Reconnaître une valeur remarquable** : trouver a tel que c = (a) (ou c = (a)). 3. **Écrire les deux familles** de solutions, puis donner à k les valeurs entières qui ramènent dans l'intervalle demandé. 4. **Vérifier sur le cercle** : la droite verticale d'abscisse c (cosinus) ou horizontale d'ordonnée c (sinus) coupe le cercle en deux points, ou en un seul si c = 1 ou c = -1. Mini-exemple : sur [0 ; 2[, l'équation (x) = -1 n'a qu'une solution, x = 3/2 : les deux familles donnent le même point.

Dans ce chapitre

• Trigonométrie dans le triangle rectangle et relation fondamentale du Collège
• Périmètre du cercle et proportions angulaires de Collège
• Repérage cartésien et symétries axiales et centrales de Seconde
• Cercle trigonométrique et radian
• Enroulement de la droite numérique et repérage de points sur le cercle
• Cosinus, sinus et valeurs remarquables
• Relations fondamentales et angles associés
• Lignes trigonométriques des angles associés pi/2 - x et pi/2 + x
• Fonctions cosinus et sinus
• Dérivées des fonctions cosinus et sinus et lien avec les variations
• Résolution d'équations trigonométriques
• Résolution d'inéquations trigonométriques sur un intervalle
• Modélisation de phénomènes périodiques par des fonctions trigonométriques
• Bilan : Synthèse et méthode sur Trigonométrie