Repérage cartésien et symétries axiales et centrales de Seconde

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• Symétrie d'axe (Ox) : (x ; y) (x ; -y) ; symétrie d'axe (Oy) : (x ; y) (-x ; y). • Symétrie de centre O : (x ; y) (-x ; -y), les deux coordonnées changent de signe. • Symétrique de A par rapport à : est le milieu de [AA'], donc x_A' = 2x_ - x_A et y_A' = 2y_ - y_A. • En repère orthonormé : AB = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2.

Le cours

Le repère orthonormé (O; i, j) permet de situer tout point par son couple de coordonnées (x ; y). Les transformations géométriques élémentaires se traduisent directement sur les coordonnées : Symétrie par rapport à l'axe des abscisses : (x ; y) (x ; -y). Symétrie par rapport à l'axe des ordonnées : (x ; y) (-x ; y). Symétrie centrale par rapport à l'origine O : (x ; y) (-x ; -y). Symétrie par rapport à un point quelconque . Le point A' est le symétrique de A par rapport à si et seulement si est le milieu du segment [AA']. Avec la formule du milieu de Seconde, on obtient x_A' = 2x_ - x_A et y_A' = 2y_ - y_A. Par exemple, le symétrique de A(4 ; 0) par rapport à (1 ; 1) est A'(-2 ; 2). Distance dans un repère orthonormé. AB = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2. En particulier, le point M(x ; y) est sur le cercle de centre O et de rayon 1 si et seulement si x^2 + y^2 = 1 ; une symétrie conserve les distances, donc le symétrique d'un point de ce cercle par l'une des trois symétries ci-dessus reste sur le cercle. En Première, ces symétries permettront de retrouver sans effort de mémoire les formules d'angles associés sur le cercle trigonométrique.

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