Modélisation de phénomènes périodiques par des fonctions trigonométriques

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• **Période T et pulsation ** : T = 2/ = 2/T. • **Fréquence f** : nombre de cycles par seconde en hertz (Hz) (f = 1/T = /2). • **Extremums d'un signal** : - Valeur maximale : y_ = B + A. - Valeur minimale : y_ = B - A. - Amplitude : A = y_ - y_2. - Valeur moyenne : B = y_ + y_2.

Le cours

De très nombreux phénomènes naturels ou technologiques présentent un comportement cyclique régulier (marées, alternance jour/nuit, températures au cours d'une journée, signaux sonores, tension alternative). Ces évolutions sont modélisées par des fonctions sinusoïdales de la forme : f(t) = A ( t + ) + B ou f(t) = A ( t + ) + B Dans ces expressions, A > 0 représente l'amplitude des oscillations, B est la valeur moyenne (niveau d'équilibre), = 2/T est la pulsation, T est la période, et est la phase à l'origine. Méthode pour construire un modèle. 1. Lire la valeur maximale et la valeur minimale : A = y_ - y_2 et B = y_ + y_2. 2. Lire la période T (durée entre deux maximums consécutifs) et calculer = 2/T. 3. Placer le maximum : avec un cosinus, f(t) = A((t - t_0)) + B atteint son maximum à l'instant t_0. Exemple. Une température varie entre 12 °C et 24 °C sur une période de 24 h, avec un maximum à 15 h : A = 6, B = 18, = 2/24 = /12, d'où f(t) = 6(/12(t - 15)) + 18. On vérifie que f(15) = 24 et f(3) = 6(-) + 18 = 12.

Dans ce chapitre