Droite d'étalonnage par la méthode des moindres carrés en analyse chimique

Terminale Technologique · Mathématiques STL Terminale

À retenir

• Droite des moindres carrés : y = ax + b. • Passe obligatoirement par le point moyen G(x, y). • Pente : a = (x_i - x)(y_i - y)(x_i - x)^2. • b = y - ax. • Validation de gamme : R^2 0,995.

Le cours

Régression linéaire par les moindres carrés Pour une série de N points étalons (x_i, y_i), la méthode des moindres carrés détermine la droite y = a x + b qui minimise la somme des carrés des écarts verticaux : Formules des coefficients : a = _i=1^N (x_i - x)(y_i - y)_i=1^N (x_i - x)^2 = Cov(x, y)s_x^2 b = y - a x La droite de régression passe obligatoirement par le point moyen G(x\ ; y). Coefficient de détermination R^2 (et coefficient de corrélation r) : r = Cov(x, y)s_x s_y et R^2 = r^2 [0\ ; 1] Critère de linéarité en laboratoire : Une gamme étalon d'analyse chimique est validée si R^2 0,995 (soit r 0,9975). Détermination d'une concentration inconnue Pour une mesure de signal y_0 sur un échantillon inconnu, la concentration estimée est x_0 = y_0 - b/a. L'incertitude sur x_0 est minimale au centre de la gamme (près de x) et augmente aux extrémités.

Dans ce chapitre

• Incertitudes-types simples et moyenne arithmétique de Première STL
• Moyenne, variance et écart-type d'un échantillon expérimental de Première STL
• Représentation de données de mesure et histogrammes de dispersion de Première STL
• Métrologie avancée, incertitudes composées et droite d'étalonnage (STL)
• Distinction entre erreurs systématiques, erreurs aléatoires et justesse de mesure
• Évaluation de type A de l'incertitude-type : répétabilité et formule u = s / n
• Évaluation de type B de l'incertitude-type : tolérances de verrerie et résolutions d'appareils
• Loi de propagation des incertitudes : somme, différence, produit et quotient de grandeurs
• Incertitude élargie U = k u_c et niveau de confiance associé (facteur d'élargissement k=2)
• Expression normalisée d'un résultat de mesure avec son incertitude et ses chiffres significatifs
• Droite d'étalonnage par la méthode des moindres carrés en analyse chimique
• Comparaison de deux moyennes de mesures par le test z ou test de Student simplifié
• Cartes de contrôle de qualité au laboratoire (Shewhart) : limites de surveillance et d'action
• Bilan : Synthèse et méthode sur la métrologie avancée, les incertitudes et l'étalonnage