Calcul littéral, développement et factorisation d'une expression de classe de 4e

1ère Technologique · Mathématiques STMG 1ère

À retenir

• (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 et a^2-b^2 = (a-b)(a+b). • (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd : quatre termes à additionner, puis réduction. • Factoriser x^2+bx+c revient à trouver deux nombres de somme b et de produit c. • Un produit (x-x_1)(x-x_2) s'annule en x = x_1 et en x = x_2 : ce sont les racines.

Le cours

1. Développer : la distributivité en action Développer une expression, c'est écrire le produit sans parenthèses. Pour deux expressions à deux termes, on obtient quatre termes que l'on additionne : • (a+b)(c+d) = a c + a d + b c + b d • (2x-5)(x+4) = 2x^2 + 8x - 5x - 20 = 2x^2 + 3x - 20 • Après développement, on additionne les termes de même degré : 8x - 5x = 3x. 2. Factoriser : l'opération inverse Factoriser consiste à écrire une somme comme un produit. Pour un trinôme du second degré, on cherche deux nombres dont la somme vaut le coefficient de x et dont le produit vaut le terme constant. • x^2 - 9x + 20 = (x-4)(x-5) car -4-5 = -9 et (-4)(-5) = 20. • Différence de deux carrés : x^2 - 16 = (x-4)(x+4). • Contrôle immédiat : on développe le produit obtenu et on doit retrouver le trinôme de départ. 3. Du panneau de l'atelier « Trait d'Ébène » à l'expression Dans un atelier de menuiserie, on découpe des panneaux rectangulaires de largeur x cm et de longueur (x+5) cm. L'aire vaut largeur longueur : l'exprimer en fonction de x revient donc à développer un produit. • Largeur 8 cm : A(x) = x^2 + 5x donne A(8) = 64 + 40 = 104\ cm^2. • Longueur (x+5) = 13 cm, et 8 13 = 104\ cm^2 : les deux chemins concordent. • On lit x^2 + 5x comme « x^2 plus 5x », jamais comme « x^2+5 fois x ». ExpressionDéveloppementFactorisation (x+5)(x-2)x^2+3x-10(x+5)(x-2) (x-3)(x-8)x^2-11x+24(x-3)(x-8) x^2-16x^2-16(x-4)(x+4) x^2-9x+20x^2-9x+20(x-4)(x-5) 4. Pièges du calcul littéral • Une racine négative peut être une vraie réponse d'équation, mais jamais une longueur : on la rejette dès que l'inconnue représente une distance ou un nombre d'unités. • Factoriser x^2-9x+20 en (x-4)(x-5) donne les racines 4 et 5 : un produit (x-x_1)(x-x_2) s'annule lorsque x = x_1. • Confondre a^2-b^2 avec (a-b)^2 : le second vaut a^2 - 2ab + b^2.

Dans ce chapitre

• Calcul littéral, développement et factorisation d'une expression de classe de 4e
• Proportionnalité et inverse de proportionnalité dans un tableau de coûts de classe de 3e
• Lecture d'un tableau de valeurs et repérage d'une fonction affine de classe de Seconde
• Fonction coût total : passage du prix unitaire au coût total
• Coût fixe et coût variable : décomposition affine d'un coût
• Coût moyen unitaire et coût marginal d'une unité produite
• Fonction de recette : prix de vente unique et chiffre d'affaires
• Résolution d'une équation du second degré par le discriminant
• Signe du trinôme et intervalle de rentabilité de la production
• Graphe d'un coût total et lecture graphique du minimum
• Maximum du chiffre d'affaires sur l'intervalle de définition
• Résolution d'une équation du second degré incomplète ou réduite
• Vérification d'un résultat par factorisation du trinôme
• Bilan : Synthèse et méthode sur Coûts de production et fonctions polynômes du second degré