Maximum du chiffre d'affaires sur l'intervalle de définition

1ère Technologique · Mathématiques STMG 1ère

À retenir

• Prix dégressif p(x) = p_0 - kx, donc chiffre d'affaires R(x) = x(p_0-kx), un trinôme de coefficient principal négatif. • Complétion du carré : -0,06(x-350)^2 + 7\,350 : le maximum est atteint en x = 350 et vaut 7\,350\ €. • Le chiffre d'affaires se lit sur la courbe de R, le bénéfice se lit sur la courbe de R - C : ce n'est pas le même x. • Un prix dégressif impose de borner l'intervalle de définition : ici le prix s'annulerait en x = 700 et deviendrait ensuite négatif.

Le cours

1. Une recette qui n'est plus une droite La coopérative « Le Panier du Val » accorde une remise sur les grosses commandes : son prix de vente unitaire vaut 42 - 0,06x euros quand elle écoule x paniers. Le prix dépend donc de la quantité, et la recette devient le produit de deux expressions. • Prix de vente unitaire : p(x) = 42 - 0,06x, en euros par panier. • Chiffre d'affaires : R(x) = x (42 - 0,06x) = -0,06x^2 + 42x • Le coefficient de tête est négatif : la courbe est une parabole tournée vers le bas. Paniers x0100200350500566 Prix unitaire42,00\ €36,00\ €30,00\ €21,00\ €12,00\ €8,04\ € Chiffre d'affaires0\ €3\,600\ €6\,000\ €7\,350\ €6\,000\ €4\,550,64\ € 0 2 000 4 000 6 000 8 000 0 100 200 300 400 500 566 Paniers vendus Recette (€) Sommet : 350 paniers, 7 350 € 2. Le maximum par complétion du carré Une parabole tournée vers le bas atteint son maximum en son sommet. On peut le mettre en évidence sans dérivée, en complétant le carré : l'écart au maximum est un multiple positif d'un carré, donc toujours positif ou nul. • R(x) = -0,06(x^2 - 700x) = -0,06(x-350)^2 + 7\,350 • Le carré (x-350)^2 s'annule en x = 350 : c'est là que le maximum est atteint. • Maximum : R(350) = 7\,350\ €, ce que confirme 350 21 = 7\,350\ €. • Autre lecture : R(x) = -0,06x(x - 700) s'annule en 0 et en 700 ; par symétrie, le sommet est au milieu, en x = 0 + 700/2 = 350. 3. L'intervalle de définition n'est pas infini • La coopérative refuse de descendre sous 8\ € le panier : l'intervalle réel est donc [0\,;\,566], pas [0\,;\,+[. • Au-delà de 566 paniers, le prix passerait sous 8\ €, et au-delà de 700 paniers il deviendrait même négatif : la courbe théorique prolonge le modèle au-delà du possible. • Le maximum du chiffre d'affaires n'est pas la quantité à produire : le coût de production n'y est pas nul.

Dans ce chapitre

• Calcul littéral, développement et factorisation d'une expression de classe de 4e
• Proportionnalité et inverse de proportionnalité dans un tableau de coûts de classe de 3e
• Lecture d'un tableau de valeurs et repérage d'une fonction affine de classe de Seconde
• Fonction coût total : passage du prix unitaire au coût total
• Coût fixe et coût variable : décomposition affine d'un coût
• Coût moyen unitaire et coût marginal d'une unité produite
• Fonction de recette : prix de vente unique et chiffre d'affaires
• Résolution d'une équation du second degré par le discriminant
• Signe du trinôme et intervalle de rentabilité de la production
• Graphe d'un coût total et lecture graphique du minimum
• Maximum du chiffre d'affaires sur l'intervalle de définition
• Résolution d'une équation du second degré incomplète ou réduite
• Vérification d'un résultat par factorisation du trinôme
• Bilan : Synthèse et méthode sur Coûts de production et fonctions polynômes du second degré