Résolution d'une équation du second degré incomplète ou réduite

1ère Technologique · Mathématiques STMG 1ère

À retenir

• Sans terme en x : ax^2 + c = 0 se réduit à x^2 = -c/a, d'où x = -c/a si -c/a > 0. • Sans terme constant : ax^2 + bx = 0 se factorise en x(ax+b) = 0, et x = 0 est toujours solution. • Forme réduite : en divisant par a, on obtient x^2 + px + q = 0, donc x_1 + x_2 = -p et x_1 x_2 = q. • Diviser par x n'est licite que si x 0, sinon on perd une solution.

Le cours

1. Deux équations où un terme manque Certaines équations du second degré se simplifient avant tout calcul. La « Torréfaction Brûlot » supporte 900\ € de frais (loyer du torréfacteur, électricité) et un prix d'achat du café vert qui croît comme 0,8x^2 euros pour x kilos torréfiés. Une équation comme 0,8x^2 + 900 = 2\,900 ne contient pas de terme en x : elle se réduit à une équation de carré. • Sans terme en x : ax^2 + c = 0 se ramène à x^2 = -c/a, puis x = -c/a. • Sans terme constant : ax^2 + bx = 0 se factorise en x(ax+b) = 0, et x = 0 est toujours solution. • Dans les deux cas, le discriminant est inutile : les racines s'obtiennent en une ou deux lignes. 2. La forme réduite Une équation du second degré est dite réduite quand le coefficient devant x^2 vaut 1 : x^2 + px + q = 0. On l'obtient en divisant toute l'équation par a. Cette forme fait apparaître deux relations précieuses entre les racines. • Somme des racines : x_1 + x_2 = -p • Produit des racines : x_1 x_2 = q • On peut donc chercher les racines par deux nombres : 100 et 200 ont bien pour somme 300 et pour produit 20\,000. ÉquationForme réduiteRaccourci de résolution 0,8x^2 + 900 = 2\,900x^2 = 2\,500x = 50 ou x = -50 3\,000x - 50x^2 = 0x^2 - 60x = 0x(x - 60) = 0, donc x = 0 ou x = 60 0,5x^2 - 150x + 10\,000 = 0x^2 - 300x + 20\,000 = 0somme 300, produit 20\,000 3. Méthode : alléger avant de calculer • Regarder si un coefficient est nul : c'est le signe d'une résolution beaucoup plus courte. • Sinon diviser par a pour obtenir la forme réduite, puis chercher la somme et le produit. • Vérifier ensuite chaque racine par substitution, comme pour n'importe quelle équation. 4. Pièges • Diviser une équation par x sans vérifier que x 0 : on perd alors la solution x = 0. • Ne diviser par a que le terme en x^2 : 0,5x^2 - 150x + 10\,000 = 0 devient x^2 - 300x + 20\,000 = 0, et non x^2 - 150x + 10\,000 = 0. • Accepter une racine négative : un nombre de kilos ou de vêtements ne peut pas être négatif.

Dans ce chapitre

• Calcul littéral, développement et factorisation d'une expression de classe de 4e
• Proportionnalité et inverse de proportionnalité dans un tableau de coûts de classe de 3e
• Lecture d'un tableau de valeurs et repérage d'une fonction affine de classe de Seconde
• Fonction coût total : passage du prix unitaire au coût total
• Coût fixe et coût variable : décomposition affine d'un coût
• Coût moyen unitaire et coût marginal d'une unité produite
• Fonction de recette : prix de vente unique et chiffre d'affaires
• Résolution d'une équation du second degré par le discriminant
• Signe du trinôme et intervalle de rentabilité de la production
• Graphe d'un coût total et lecture graphique du minimum
• Maximum du chiffre d'affaires sur l'intervalle de définition
• Résolution d'une équation du second degré incomplète ou réduite
• Vérification d'un résultat par factorisation du trinôme
• Bilan : Synthèse et méthode sur Coûts de production et fonctions polynômes du second degré