Coût fixe et coût variable : décomposition affine d'un coût

1ère Technologique · Mathématiques STMG 1ère

À retenir

• Dans C(x) = a x + b, le terme b est le coût fixe et le terme a x est le coût variable. • C(0) = b : le coût fixe se lit directement à l'origine, il est payé même si rien n'est produit. • a = C(x_2) - C(x_1)/x_2 - x_1 est le coût variable d'une chaise, en euros par chaise. • Coût variable cumulé : a x ; coût fixe cumulé : b, quelle que soit la quantité.

Le cours

1. Ce qui ne change pas et ce qui change La « Chaiserie du Moulin » fabrique des chaises en bois. Le loyer de l'atelier, l'électricité et les assurances sont payés quel que soit le nombre de chaises produites : ce sont des coûts fixes. Le bois, la colle et le temps d'atelier dépendent au contraire du nombre de chaises. • Coût fixe : b, un montant en euros payé même si x = 0. • Coût variable : a x, un montant en euros qui croît avec la production. • Coût variable unitaire : a, en euros par chaise, identique pour chaque chaise. 2. Retrouver a et b avec deux observations Le responsable communique seulement deux lignes du compte d'exploitation : C(40) = 3\,710\ € et C(90) = 6\,035\ €. La pente de la droite qui relie ces deux points donne le coût variable unitaire, et l'extrapolation en x = 0 donne le coût fixe. • a = 6\,035 - 3\,710/90 - 40 = 2\,325/50 = 46,50\ €/chaise • b = C(40) - a 40 = 3\,710 - 1\,860 = 1\,850\ € • Fonction de coût : C(x) = 46,50x + 1\,850. Chaises x04090100200 Coût total C(x)1\,850\ €3\,710\ €6\,035\ €6\,500\ €11\,150\ € Coût variable0\ €1\,860\ €4\,185\ €4\,650\ €9\,300\ € 3. Pièges de la décomposition • Oublier que C(0) = b 0 : arrêter l'atelier ne fait pas disparaître les 1\,850\ € de frais fixes. • Confondre le coût variable total a x et le coût variable unitaire a : pour 100 chaises, l'un vaut 4\,650\ € et l'autre 46,50\ €. • Prendre le coût moyen pour le coût variable unitaire : 3\,710/40 = 92,75\ € contient la part des frais fixes, alors que le coût variable d'une chaise n'est que de 46,50\ €.

Dans ce chapitre

• Calcul littéral, développement et factorisation d'une expression de classe de 4e
• Proportionnalité et inverse de proportionnalité dans un tableau de coûts de classe de 3e
• Lecture d'un tableau de valeurs et repérage d'une fonction affine de classe de Seconde
• Fonction coût total : passage du prix unitaire au coût total
• Coût fixe et coût variable : décomposition affine d'un coût
• Coût moyen unitaire et coût marginal d'une unité produite
• Fonction de recette : prix de vente unique et chiffre d'affaires
• Résolution d'une équation du second degré par le discriminant
• Signe du trinôme et intervalle de rentabilité de la production
• Graphe d'un coût total et lecture graphique du minimum
• Maximum du chiffre d'affaires sur l'intervalle de définition
• Résolution d'une équation du second degré incomplète ou réduite
• Vérification d'un résultat par factorisation du trinôme
• Bilan : Synthèse et méthode sur Coûts de production et fonctions polynômes du second degré