Proportionnalité et inverse de proportionnalité dans un tableau de coûts de classe de 3e

1ère Technologique · Mathématiques STMG 1ère

À retenir

• Proportionnalité directe : y = k x, le quotient y/x est constant. • Proportionnalité inverse : y = k/x, le produit x y est constant. • Un coût total de la forme C(x) = c x + F est une proportionnalité directe plus une constante : F est le coût fixe. • Chercher une quantité maximale sous contrainte, c'est résoudre une inégalité puis arrondir vers le bas.

Le cours

1. Deux types de proportionnalité Une proportionnalité directe se reconnaît à un quotient constant : y/x ne change pas. Une proportionnalité inverse se reconnaît à un produit constant : x y ne change pas. La première décrit une facture qui grossit avec la quantité traitée, la seconde une charge partagée entre des participants. • Directe : y = k x, par exemple 3,60\ € par litre pressé. • Inverse : y = k/x, par exemple 4\,800\ € répartis entre n producteurs. • La constante se lit dans une seule ligne du tableau : ici k = 3,60 et k = 4\,800. 2. Le coût d'un pressage au « Pressoir des Cerisiers » Le pressoir facture 3,60\ € de matière première par litre et 240\ € de frais fixes par pressage : le coût total est une proportionnalité directe à laquelle s'ajoute une constante. • Coût total : C(x) = 3,60x + 240, en euros pour x litres. • C(0) = 240\ € : les frais fixes sont payés même si rien n'est pressé. • Ajouter la constante ne change pas le prix unitaire, mais elle empêche le coût total d'être proportionnel à la quantité. Litres pressés xCoût variable 3,60xCoût total C(x) 100360\ €600\ € 200720\ €960\ € 3001\,080\ €1\,320\ € 5001\,800\ €2\,040\ € 3. La charge partagée, une proportionnalité inverse Lorsque le pressoir loue sa machine, les 4\,800\ € de location sont répartis entre n producteurs. Plus ils sont nombreux, plus la charge de chacun est légère : c'est le comportement d'une proportionnalité inverse. • Charge par producteur : s(n) = 4\,800/n, en euros par personne. • n s(n) = 4\,800 : le produit reste constant, contrairement au cas direct. • 8 600 = 12 400 = 16 300 = 4\,800 : la vérification est immédiate. 4. Pièges des deux types de proportionnalité • Multiplier par n au lieu de diviser par n : avec n = 16 producteurs, la charge est 4\,800/16 = 300\ € et non 76\,800\ €. • Croire qu'un coût total est proportionnel à la quantité : doubler le volume de 100 à 200 litres double le coût variable (360 puis 720\ €), mais le coût total passe de 600 à 960\ €, et non à 1\,200\ €. • Arrondir vers le haut lorsqu'on cherche une quantité maximale : on dépasserait alors le budget disponible.

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