Vérification d'un résultat par factorisation du trinôme

1ère Technologique · Mathématiques STMG 1ère

À retenir

• a(x-x_1)(x-x_2) = a x^2 - a(x_1+x_2)x + a x_1 x_2 est l'identité qui reconstruit un trinôme à partir de ses racines. • Les racines se lisent aussi dans les coefficients : x_1 + x_2 = -b/a et x_1 x_2 = c/a. • Des racines x_1 et x_2 donnent les facteurs (x - x_1) et (x - x_2) : racines 60 et 100, donc (x-60)(x-100) et non (x+60)(x+100). • Vérifier, c'est développer puis comparer coefficient par coefficient, pas seulement regarder la forme.

Le cours

1. Reconstruire un trinôme à partir de ses racines Le « Grenier du Causse », silo coopératif, stocke du blé et le vend 140\ € la tonne. Son coût total vaut C(x) = 0,35x^2 + 84x + 2\,100 euros pour x tonnes. Une fois les deux racines calculées, on peut vérifier tout le travail en réécrivant le résultat sous forme factorisée. • a(x-x_1)(x-x_2) = a x^2 - a(x_1+x_2)x + a x_1 x_2 • Avec x_1 = 60 et x_2 = 100 : 0,35(x-60)(x-100) = 0,35x^2 - 56x + 2\,100. • C'est exactement l'équation C(x) - R(x) = 0 du silo, ce qui valide les deux racines. 2. Somme et produit dans les coefficients L'identité précédente donne deux relations que l'on peut utiliser dans les deux sens : pour calculer les racines, ou pour les vérifier. Elles constituent le contrôle le plus rapide d'une résolution. • x_1 + x_2 = -b/a permet de retrouver la somme des racines. • x_1 x_2 = c/a permet de retrouver le produit des racines. • Contrôle rapide du terme constant : 0,35 60 100 = 2\,100, valeur attendue. Tonnes x0306075100120150 Coût C(x)2\,100\ €4\,935\ €8\,400\ €10\,368,75\ €14\,000\ €17\,220\ €22\,575\ € Recette R(x)0\ €4\,200\ €8\,400\ €10\,500\ €14\,000\ €16\,800\ €21\,000\ € Résultat-2\,100\ €-735\ €0\ €131,25\ €0\ €-420\ €-1\,575\ € 3. Méthode de vérification en trois lignes • Écrire le trinôme à vérifier sous la forme ax^2 + bx + c, coefficients lus dans l'ordre. • Développer a(x-x_1)(x-x_2) et comparer coefficient par coefficient. • Contrôler enfin a x_1 x_2 = c et -a(x_1 + x_2) = b : deux multiplications suffisent. 4. Pièges de factorisation • Écrire (x + 60)(x + 100) au lieu de (x-60)(x-100) : les racines deviennent -60 et -100, et tout l'intervalle de rentabilité est déplacé. • Oublier le coefficient a devant les parenthèses, ce qui fausse le terme constant. • Valider une factorisation sans la développer : la forme peut sembler plausible tout en étant fausse.

Dans ce chapitre

• Calcul littéral, développement et factorisation d'une expression de classe de 4e
• Proportionnalité et inverse de proportionnalité dans un tableau de coûts de classe de 3e
• Lecture d'un tableau de valeurs et repérage d'une fonction affine de classe de Seconde
• Fonction coût total : passage du prix unitaire au coût total
• Coût fixe et coût variable : décomposition affine d'un coût
• Coût moyen unitaire et coût marginal d'une unité produite
• Fonction de recette : prix de vente unique et chiffre d'affaires
• Résolution d'une équation du second degré par le discriminant
• Signe du trinôme et intervalle de rentabilité de la production
• Graphe d'un coût total et lecture graphique du minimum
• Maximum du chiffre d'affaires sur l'intervalle de définition
• Résolution d'une équation du second degré incomplète ou réduite
• Vérification d'un résultat par factorisation du trinôme
• Bilan : Synthèse et méthode sur Coûts de production et fonctions polynômes du second degré