Résolution d'une équation du second degré par le discriminant

1ère Technologique · Mathématiques STMG 1ère

À retenir

• Le seuil de rentabilité se cherche en posant C(x) = R(x) puis en résolvant l'équation obtenue. • = b^2 - 4ac : > 0 deux racines, = 0 une racine double, 0 : x_1 = -b - 2a et x_2 = -b + 2a (avec a > 0, x_1 < x_2). • Contrôle obligatoire : remplacer une racine dans le trinôme doit donner exactement 0.

Le cours

1. Le seuil de rentabilité est une équation Pour l'« Imprimerie l'Offset », tirer une affiche coûte au total C(x) = 0,05x^2 + 68x + 1\,200 euros, et l'affiche se vend 100\ €. Le seuil de rentabilité est la quantité pour laquelle le coût total égale la recette : la question se ramène donc à une équation du second degré. • Recette : R(x) = 100x. • Équation du seuil : C(x) = R(x) 0,05x^2 - 32x + 1\,200 = 0 • Résoudre cette équation donne les deux quantités seuils de l'imprimerie. 2. Le discriminant décide de tout Le discriminant = b^2 - 4ac se calcule une fois, à partir des coefficients écrits dans la forme développée. Son signe indique le nombre de solutions réelles. • > 0 : deux racines distinctes. • = 0 : une racine double, le trinôme s'annule en un seul point. • • Quand > 0 : x_1 = -b - 2a et x_2 = -b + 2a Affiches x040300600601 Coût total C(x)1\,200\ €4\,000\ €26\,100\ €60\,000\ €60\,128,05\ € Recette R(x)0\ €4\,000\ €30\,000\ €60\,000\ €60\,100\ € Résultat R(x)-C(x)-1\,200\ €0\ €3\,900\ €0\ €-28,05\ € 3. La méthode en cinq gestes • 1. Poser R(x) - C(x) = 0 et écrire l'équation sous la forme ax^2 + bx + c = 0. • 2. Lire a, b et c dans cet ordre, sans rien calculer de tête. • 3. Calculer = b^2 - 4ac et comparer à zéro. • 4. Calculer les racines avec -b 2a, puis les ranger dans l'ordre croissant. • 5. Remplacer une racine dans l'équation pour vérifier qu'elle s'annule bien. 4. Pièges de calcul • Écrire b 2a au lieu de -b 2a : le signe change tout et les racines obtenues ne satisfont plus l'équation. • Se tromper de dénominateur : il vaut 2a = 0,1 ; diviser par a = 0,05 donnerait 80 et 1\,200 au lieu de 40 et 600. • Calculer b^2 sans parenthèses quand b est négatif : (-32)^2 = 1\,024, alors que -32^2 = -1\,024 donnerait un discriminant négatif et ferait croire qu'il n'y a aucun seuil.

Dans ce chapitre

• Calcul littéral, développement et factorisation d'une expression de classe de 4e
• Proportionnalité et inverse de proportionnalité dans un tableau de coûts de classe de 3e
• Lecture d'un tableau de valeurs et repérage d'une fonction affine de classe de Seconde
• Fonction coût total : passage du prix unitaire au coût total
• Coût fixe et coût variable : décomposition affine d'un coût
• Coût moyen unitaire et coût marginal d'une unité produite
• Fonction de recette : prix de vente unique et chiffre d'affaires
• Résolution d'une équation du second degré par le discriminant
• Signe du trinôme et intervalle de rentabilité de la production
• Graphe d'un coût total et lecture graphique du minimum
• Maximum du chiffre d'affaires sur l'intervalle de définition
• Résolution d'une équation du second degré incomplète ou réduite
• Vérification d'un résultat par factorisation du trinôme
• Bilan : Synthèse et méthode sur Coûts de production et fonctions polynômes du second degré