Bilan : Synthèse et méthode sur Coûts de production et fonctions polynômes du second degré

1ère Technologique · Mathématiques STMG 1ère

À retenir

• Chaîne complète : coût unitaire, coût total C(x), recette R(x) = px, résultat R(x) - C(x), seuil, intervalle de rentabilité, quantité choisie. • Le seuil de rentabilité est donné par les racines de R(x) - C(x) = 0, et l'intervalle par le signe de ce trinôme. • Le coût moyen unitaire vaut C(x)/x et il est égal au prix de vente exactement aux seuils de rentabilité. • Contrôle systématique : la quantité trouvée est entière, et le résultat change de signe entre deux quantités entières voisines.

Le cours

1. La chaîne complète d'un calcul de gestion Les « Jardins du Lac » fabriquent des tables de jardin en bois massif. Chaque étape de l'étude s'enchaîne : le prix unitaire donne le coût total, le coût total donne le coût moyen unitaire, le prix de vente donne la recette, et l'écart entre les deux donne le résultat. C'est cet écart qui pilote toute la suite. • Coût total : C(x) = 1,6x^2 + 110x + 5\,760 euros, avec 5\,760\ € de frais fixes, un prix de vente de 350\ €/table et une capacité de 200 tables. • Recette : R(x) = 350x euros. • Résultat : R(x) = 350x - (1,6x^2+110x+5\,760) = -1,6x^2 + 240x - 5\,760 • Ce résultat se factorise : R(x) = -1,6(x-30)(x-120). Tables x03075120200 Coût C(x)5\,760\ €10\,500\ €23\,010\ €42\,000\ €91\,760\ € Recette R(x)0\ €10\,500\ €26\,250\ €42\,000\ €70\,000\ € Résultat-5\,760\ €0\ €3\,240\ €0\ €-21\,760\ € Coût moyen—350,00\ €306,80\ €350,00\ €458,80\ € 2. Méthode générale en six étapes • 1. Écrire C(x) à partir des coûts unitaires et fixes, en euros. • 2. Écrire R(x) = px à partir du prix de vente unitaire. • 3. Poser R(x) = R(x) - C(x) et le garder sous les yeux jusqu'à la fin. • 4. Résoudre R(x) = 0 (forme factorisée, somme et produit, ou discriminant) pour obtenir les deux seuils. • 5. Lire l'intervalle de rentabilité sur le signe du trinôme, puis arrondir aux quantités entières. • 6. Contrôler : le coût moyen unitaire doit valoir le prix de vente exactement aux deux seuils. 3. Les quatre fautes classiques • Confondre le seuil de rentabilité et la quantité à produire : ici le résultat est positif de 30 à 120 tables, mais son maximum, 3\,240\ €, est atteint en 75 tables. • Regarder le signe du coût au lieu de celui du résultat, et oublier qu'à 0 table vendue le résultat vaut -5\,760\ € : les frais fixes restent dus. • Négliger les quantités entières : une racine valant 31,27 ne signifie pas qu'on produit 31 tables avec bénéfice. • Dépasser la capacité de l'atelier : au-delà de 200 tables, le modèle n'a plus de sens. 4. Du calcul à la décision Le tableau se lit en une phrase : l'entreprise perd de l'argent jusqu'à 30 tables, ne gagne rien à 30 et 120 tables, et dégage au mieux 3\,240\ € en 75 tables. Le coût moyen unitaire, lui, descend de 350\ € au premier seuil jusqu'à 302\ € en 60 tables, où la marge unitaire est la plus large, puis remonte à 306,80\ € en 75 tables. • Quantité recommandée : 75 tables, pour un résultat de 3\,240\ €. • Marge unitaire : elle vaut 43,20\ € en 75 tables, mais 48\ € en 60 tables. • Point de vigilance : la marge unitaire maximale n'est pas là où le résultat est le plus grand, les deux choix ne coïncident pas.

Dans ce chapitre