Coût moyen unitaire et coût marginal d'une unité produite

1ère Technologique · Mathématiques STMG 1ère

À retenir

• Coût moyen unitaire : CM(x) = C(x)/x, en euros par unité produite. • Si C(x) = a x^2 + b x + c, alors CM(x) = a x + b + c/x. • Coût marginal d'une unité : C(n+1) - C(n), surcoût de la (n+1)-ième unité. • Pour un coût quadratique : C(n+1) - C(n) = a(2n+1) + b, le terme fixe c disparaît.

Le cours

1. Le coût moyen unitaire L'« Atelier des Écharpes » tisse des écharpes en laine. Son coût total est quadratique : C(x) = 0,8x^2 + 15x + 1\,800, où 1\,800\ € couvrent le métier et le loyer, 15\ € la laine par écharpe, et le terme 0,8x^2 traduit les réglages et l'usure du métier, qui pèsent de plus en plus lourd quand le volume augmente. • Coût moyen unitaire : CM(x) = C(x)/x = 0,8x + 15 + 1\,800/x • Le terme 1\,800/x explique que le coût unitaire baisse quand on produit davantage. • Unité : euros par écharpe, contrairement à C(x) qui est en euros. 2. Le coût marginal, sans dérivée Le coût marginal d'une unité est le surcoût engendré par la production de cette unité supplémentaire. Il se calcule par une différence de deux coûts totaux, ce qui reste accessible sans dérivée. • Coût marginal de la (n+1)-ième écharpe : C(n+1) - C(n). • Pour un coût quadratique : C(n+1)-C(n) = 0,8(2n+1) + 15 = 1,6n + 15,8 • Le terme fixe 1\,800 disparaît dans la différence : il ne coûte rien de plus à produire une écharpe. Écharpes xCoût total C(x)Coût moyen CM(x)Coût marginal C(x+1)-C(x) 504\,550\ €91,00\ €95,80\ € 10011\,300\ €113,00\ €175,80\ € 20036\,800\ €184,00\ €335,80\ € 30078\,300\ €261,00\ €495,80\ € 3. Ce que révèle la comparaison des deux colonnes Tant que le coût marginal reste inférieur au coût moyen unitaire, produire une écharpe de plus fait baisser le coût unitaire : c'est le cas de l'atelier jusqu'à 47 écharpes environ, où le coût moyen est minimal (environ 90,90\ €). Au-delà, le coût marginal dépasse le coût moyen et le coût unitaire recommence à monter. • En x = 50 : marginal 95,80\ € contre moyenne 91,00\ €, la moyenne est déjà dépassée. • Le coût marginal instantané, obtenu par dérivée de C, sera étudié dans le chapitre sur la dérivation : ici on s'en tient à la différence de deux coûts totaux. • Le coût marginal est croissant ici, car le coefficient de n dans 1,6n + 15,8 est positif. 4. Pièges les plus fréquents • Diviser C(x) par x pour obtenir un coût marginal : on obtient le coût moyen unitaire, pas le surcoût de l'unité supplémentaire. • Conserver le terme 1\,800/x dans le coût marginal : il disparaît dans la différence C(n+1) - C(n). • Comparer le coût marginal obtenu en x avec le coût moyen calculé en x+1 : la comparaison juste se fait à la même quantité.

Dans ce chapitre

• Calcul littéral, développement et factorisation d'une expression de classe de 4e
• Proportionnalité et inverse de proportionnalité dans un tableau de coûts de classe de 3e
• Lecture d'un tableau de valeurs et repérage d'une fonction affine de classe de Seconde
• Fonction coût total : passage du prix unitaire au coût total
• Coût fixe et coût variable : décomposition affine d'un coût
• Coût moyen unitaire et coût marginal d'une unité produite
• Fonction de recette : prix de vente unique et chiffre d'affaires
• Résolution d'une équation du second degré par le discriminant
• Signe du trinôme et intervalle de rentabilité de la production
• Graphe d'un coût total et lecture graphique du minimum
• Maximum du chiffre d'affaires sur l'intervalle de définition
• Résolution d'une équation du second degré incomplète ou réduite
• Vérification d'un résultat par factorisation du trinôme
• Bilan : Synthèse et méthode sur Coûts de production et fonctions polynômes du second degré