Signe du trinôme et intervalle de rentabilité de la production

1ère Technologique · Mathématiques STMG 1ère

À retenir

• Le résultat est R(x) = R(x) - C(x) ; l'entreprise est rentable quand R(x) 0. • Si R(x) = a(x-x_1)(x-x_2) avec a < 0, alors R(x) 0 uniquement entre les racines : l'intervalle de rentabilité est [x_1\,;\,x_2]. • Une racine est une quantité seuil : le résultat y vaut exactement 0, ni bénéfice ni perte. • Les quantités sont entières : on arrondit la plus petite racine vers le haut et la plus grande vers le bas (par exemple 31,27 32 et 108,73 108).

Le cours

1. Le résultat est un trinôme La coopérative « Rucher du Soleil » vend ses pots de miel par lots de 20 pots, à 400\ € le lot. Son coût total vaut C(x) = 2x^2 + 120x + 4\,800 euros. Le résultat de la campagne est la différence entre la recette et le coût. • R(x) = R(x) - C(x) = 400x - (2x^2+120x+4\,800) • R(x) = -2x^2 + 280x - 4\,800 = -2(x-20)(x-120) • L'entreprise est rentable exactement quand R(x) 0. 0 2 000 4 000 6 000 -2 000 -4 000 -6 000 -8 000 -10 000 -12 000 0 20 40 60 80 100 120 140 160 Lots de 20 pots Résultat (€) Résultat positif 5 000 € au sommet 2. Le signe d'un produit de deux facteurs Une fois le trinôme factorisé, son signe se lit directement : un produit est positif quand les deux facteurs sont de même signe, négatif quand ils sont de signes opposés, et nul quand l'un des facteurs s'annule. • Pour x • Pour 20 0. • Pour x > 120 : les deux facteurs sont positifs, donc R(x) Lots x0203070120150 Coût C(x)4\,800\ €8\,000\ €10\,200\ €23\,000\ €48\,000\ €67\,800\ € Recette R(x)0\ €8\,000\ €12\,000\ €28\,000\ €48\,000\ €60\,000\ € Résultat-4\,800\ €0\ €1\,800\ €5\,000\ €0\ €-7\,800\ € 3. Méthode en quatre questions • Quelle est la fonction étudiée ? Le résultat R(x) - C(x), jamais le coût seul. • Quels sont ses zéros ? Ils se lisent sur la forme factorisée -2(x-20)(x-120) : 20 et 120. • Quel est le signe du coefficient de tête ? Ici -2, donc le trinôme est positif entre les racines seulement. • Quelles quantités entières retenir ? Celles de l'intervalle, extrémités comprises quand le résultat y vaut exactement 0. 4. Pièges d'interprétation • Conclure « rentable pour x 20 » parce que le coût est positif : c'est le résultat qui porte le coefficient négatif. L'erreur fait croire l'entreprise rentable pour toutes les grandes quantités, alors que la perte atteint 7\,800\ € pour 150 lots. • Oublier la perte subie avant le premier seuil : la coopérative perd déjà 4\,800\ € en produisant zéro lot. • Confondre seuil de rentabilité et quantité optimale : le seuil donne un intervalle, pas une quantité à privilégier.

Dans ce chapitre

• Calcul littéral, développement et factorisation d'une expression de classe de 4e
• Proportionnalité et inverse de proportionnalité dans un tableau de coûts de classe de 3e
• Lecture d'un tableau de valeurs et repérage d'une fonction affine de classe de Seconde
• Fonction coût total : passage du prix unitaire au coût total
• Coût fixe et coût variable : décomposition affine d'un coût
• Coût moyen unitaire et coût marginal d'une unité produite
• Fonction de recette : prix de vente unique et chiffre d'affaires
• Résolution d'une équation du second degré par le discriminant
• Signe du trinôme et intervalle de rentabilité de la production
• Graphe d'un coût total et lecture graphique du minimum
• Maximum du chiffre d'affaires sur l'intervalle de définition
• Résolution d'une équation du second degré incomplète ou réduite
• Vérification d'un résultat par factorisation du trinôme
• Bilan : Synthèse et méthode sur Coûts de production et fonctions polynômes du second degré