Graphe d'un coût total et lecture graphique du minimum

1ère Technologique · Mathématiques STMG 1ère

À retenir

• Le graphique d'un coût quadratique est une parabole : le signe de a dit si elle est tournée vers le haut (a > 0) ou vers le bas (a < 0). • Le sommet est atteint en = -b/2a : si est hors de l'intervalle de définition, il ne compte pas. • Ici < 0 : la courbe est croissante sur [0\,;\,400] et le minimum est le coût fixe C(0). • Minimum du coût total et minimum du coût unitaire sont deux notions différentes, à ne pas confondre.

Le cours

1. Le coût total est une parabole La « Fromagerie du Petit Mont » emballe ses boîtes de fromage dans une chambre froide. Son coût de campagne vaut C(x) = 0,35x^2 + 22x + 3\,200 euros pour x boîtes, avec une capacité limitée à 400 boîtes par semaine. • Le graphique est une parabole ouverte vers le haut, passant par C(0) = 3\,200\ €. • Elle croît de plus en plus vite : l'écart entre deux quantités voisines augmente. • L'intervalle de définition est ici [0\,;\,400], et non tout l'ensemble des réels. Boîtes x050100150200400 Coût total C(x)3\,200\ €5\,175\ €8\,900\ €14\,375\ €21\,600\ €68\,000\ € Écart avec x = 00\ €1\,975\ €5\,700\ €11\,175\ €18\,400\ €64\,800\ € 0 10 000 20 000 30 000 40 000 50 000 60 000 0 100 200 300 400 Boîtes de fromage Coût total (€) 3 200 € : coût fixe 8 900 € 2. Lire le minimum sur l'intervalle de définition Une parabole atteint son minimum en son sommet, mais un sommet situé hors de l'intervalle ne compte pas. Ici l'abscisse du sommet vaut = -220,7 -31,4 : elle est négative, donc extérieure à [0\,;\,400]. • La courbe est croissante sur tout l'intervalle : le minimum est donc atteint en x = 0. • Ce minimum vaut C(0) = 3\,200\ €, c'est-à-dire exactement le coût fixe. • Le sommet de la courbe complète vaudrait 2\,854\ € en x = -31 : une quantité de boîtes négative, qui n'a aucun sens. 3. Pièges de lecture graphique • Annoncer que le coût total est minimal au sommet de la parabole : ici ce sommet est hors du domaine, et le coût minimal réel est le coût fixe. • Confondre le minimum du coût total et le minimum du coût unitaire C(x)/x : le premier est atteint en 0, le second vers 96 boîtes (environ 88,93\ €/boîte). • Oublier l'unité verticale : sur un axe gradué en milliers d'euros, la lecture 8,9 signifie 8\,900\ €, et non 8,90\ €.

Dans ce chapitre

• Calcul littéral, développement et factorisation d'une expression de classe de 4e
• Proportionnalité et inverse de proportionnalité dans un tableau de coûts de classe de 3e
• Lecture d'un tableau de valeurs et repérage d'une fonction affine de classe de Seconde
• Fonction coût total : passage du prix unitaire au coût total
• Coût fixe et coût variable : décomposition affine d'un coût
• Coût moyen unitaire et coût marginal d'une unité produite
• Fonction de recette : prix de vente unique et chiffre d'affaires
• Résolution d'une équation du second degré par le discriminant
• Signe du trinôme et intervalle de rentabilité de la production
• Graphe d'un coût total et lecture graphique du minimum
• Maximum du chiffre d'affaires sur l'intervalle de définition
• Résolution d'une équation du second degré incomplète ou réduite
• Vérification d'un résultat par factorisation du trinôme
• Bilan : Synthèse et méthode sur Coûts de production et fonctions polynômes du second degré