Taux de variation moyen d'une fonction entre deux points de classe de Seconde

1ère Technologique · Mathématiques STMG 1ère

À retenir

• Taux de variation moyen de f entre a et b : f\,(b)-f\,(a)/b-a, avec f\,(b)-f\,(a) l'accroissement et b-a l'écart de grandeur. • Appliqué à un coût, il s'exprime en euros par unité produite et sert de coût moyen sur une tranche. • Un taux moyen ne dit rien sur l'évolution à l'intérieur de l'intervalle : le coût peut y baisser puis remonter.

Le cours

1. Le coût total comme fonction de la quantité produite L'atelier de menuiserie Rivage fabrique des modules d'agencement. On note C(x) son coût total annuel, en euros, quand il produit x modules. Produire 4 modules coûte 604\ € et en produire 14 coûte 1\ 734\ € : entre ces deux quantités, le coût n'a pas évolué de façon régulière. Le taux de variation moyen de C entre les réels a et b, avec a b, est le rapport de l'accroissement du coût par l'accroissement de la quantité : C\,(b)-C\,(a)/b-a • Numérateur : la variation de coût, en euros, sur l'intervalle considéré. • Dénominateur : l'écart entre les deux quantités de production, en modules. • Le taux de variation moyen s'exprime donc en euros par module. Modules produits x468101214 Coût total C\,(x) en euros6046066728501\ 1881\ 734 Taux moyen depuis 4 modules, en euros par module—1174173113 2. Méthode : trois gestes pour un taux de variation moyen Entre 10 et 13 modules, le coût passe de 850\ € à 1\ 432\ €. On applique successivement : • Je pose a = 10 et b = 13, donc b-a = 3. • Je calcule l'accroissement du coût : C\,(13)-C\,(10) = 1\ 432-850 = 582\ €. • Je divise : 582 3 = 194\ € par module supplémentaire, en moyenne. Ce taux est une moyenne : il ne dit pas que chaque module supplémentaire coûte exactement 194\ €. Il indique seulement ce que coûte, en moyenne, un module supplémentaire sur cette tranche de production. 0 5 10 15 20 0 1000 2000 x (modules) C(x) en euros A : 10 modules B : 13 modules 3 modules 582 euros 3. Piège : un taux moyen positif masque une baisse du coût Entre 4 et 6 modules, le taux de variation moyen vaut (606-604) 2 = 1\ € par module : le coût semble à peu près stable. Pourtant, produire 5 modules coûte 600\ €, soit 4\ € de moins que produire 4 modules. Un taux moyen positif n'interdit donc pas une baisse locale du coût. Second piège : inverser le quotient. Le dénominateur est toujours l'écart de quantité, le numérateur l'écart de coût : écrire b-a/C\,(b)-C\,(a) revient à demander « combien de modules pour un euro », ce qui n'a pas d'unité utilisable en gestion.

Dans ce chapitre

• Taux de variation moyen d'une fonction entre deux points de classe de Seconde
• Pente d'une droite et coefficient directeur de classe de 3e
• Nombre dérivé approché par le quotient de deux accroissements de classe de Seconde
• Nombre dérivé comme limite du taux de variation
• Dérivées de x^2, x^3 et des polynômes de degré inférieur ou égal à 3
• Dérivée d'un coût total et coût marginal instantané
• Tangente à une courbe : pente et équation réduite en un point
• Tableau de variations d'un coût et coût minimal atteint
• Sens de variation du coût marginal et signe de la dérivée seconde
• Optimisation d'un coût par annulation de la dérivée
• Nombre critique de production et passage aux quantités entières
• Comparaison entre coût marginal et prix de vente
• Interprétation économique d'un seuil de rentabilité atteint par la dérivée du coût total
• Bilan : Synthèse et méthode sur Coût marginal, dérivée et optimisation d'un plan de production