Interprétation économique d'un seuil de rentabilité atteint par la dérivée du coût total

1ère Technologique · Mathématiques STMG 1ère

À retenir

• Le seuil de rentabilité est la quantité où p\,x = C\,(x) : la marge y est nulle, négative en dessous, positive au-delà (jusqu'à une éventuelle limite haute de production rentable). • La dérivée complète la lecture : C'\,(x) < p signifie que le coût croît moins vite que la recette, donc que la marge s'améliore. • Seuil de rentabilité et quantité de meilleure marge ne coïncident pas : la première est un seuil, la seconde un maximum.

Le cours

1. Deux droites et un point de rencontre Le chiffre d'affaires est représenté par une droite qui passe par l'origine : R\,(x) = p\,x. La courbe du coût total, elle, part du montant des coûts fixes (ici F\,(0) = 400\ €) et sa pente finit par augmenter fortement. Le seuil de rentabilité est la quantité à partir de laquelle la recette dépasse le coût total : en dessous, l'atelier travaille à perte ; au-delà, il dégage une marge positive, jusqu'à ce que le coût, qui accélère, repasse au-dessus de la recette. R\,(x) = C\,(x) p\,x = C\,(x) • Au seuil de rentabilité, la marge est nulle ; elle est positive au-dessus, négative en dessous. • La dérivée indique de quel côté on se trouve : là où C'\,(x) • Là où C'\,(x) > p, le coût monte plus vite que la recette et la marge se dégrade. Modules x34567 Coût total F\,(x) en euros301288305364477 Chiffre d'affaires 72x en euros216288360432504 Marge en euros-850556827 0 2 4 6 0 500 1000 x (modules) euros seuil de rentabilité : 4 modules 288 euros de part et d'autre 6 modules : marge 68 euros 2. Méthode : croiser les deux informations • Je cherche le seuil de rentabilité en comparant F\,(x) et p\,x sur deux entiers consécutifs : ici 288 = 288 en 4 modules. • Je lis ensuite la marge : nulle au seuil, positive au-delà, ce qui confirme le franchissement. • La dérivée donne la position de la meilleure marge : F'\,(x) = 72 est réalisé entre 5 et 6 modules, et la marge y est maximale. • La zone bénéficiaire commence au seuil de rentabilité et s'arrête quand la marge redevient négative : 27\ € en 7 modules, mais -80\ € en 8 modules. La quantité où le coût marginal égale le prix est à l'intérieur de cette zone : c'est celle de la meilleure marge. 3. Piège : confondre le seuil de rentabilité et la meilleure marge Pour l'atelier de coût F\,(x) = 2x^3-9x^2-24x+400 vendu 72\ €, le seuil de rentabilité est fixé à 4 modules, où la marge est nulle. La meilleure marge, 68\ €, est obtenue en 6 modules. Ce sont deux quantités différentes : le seuil répond à « à partir de quand l'atelier gagne-t-il de l'argent ? », la meilleure marge à « quelle quantité lui rapporte le plus ? ». La dérivée sert à distinguer les deux : la marge m\,(x) = p\,x - F\,(x) a pour dérivée p - F'\,(x), qui s'annule quand le coût marginal égale le prix, c'est-à-dire au maximum de la marge, et non au croisement de la droite de recette avec la courbe de coût.

Dans ce chapitre

• Taux de variation moyen d'une fonction entre deux points de classe de Seconde
• Pente d'une droite et coefficient directeur de classe de 3e
• Nombre dérivé approché par le quotient de deux accroissements de classe de Seconde
• Nombre dérivé comme limite du taux de variation
• Dérivées de x^2, x^3 et des polynômes de degré inférieur ou égal à 3
• Dérivée d'un coût total et coût marginal instantané
• Tangente à une courbe : pente et équation réduite en un point
• Tableau de variations d'un coût et coût minimal atteint
• Sens de variation du coût marginal et signe de la dérivée seconde
• Optimisation d'un coût par annulation de la dérivée
• Nombre critique de production et passage aux quantités entières
• Comparaison entre coût marginal et prix de vente
• Interprétation économique d'un seuil de rentabilité atteint par la dérivée du coût total
• Bilan : Synthèse et méthode sur Coût marginal, dérivée et optimisation d'un plan de production