Bilan : Synthèse et méthode sur Coût marginal, dérivée et optimisation d'un plan de production

1ère Technologique · Mathématiques STMG 1ère

À retenir

• C'\,(x) est le coût marginal instantané, en euros par module, et la pente de la courbe de coût. • La quantité critique est la solution de C'\,(x) = 0 ; on compare ensuite les valeurs de C aux points critiques et aux extrémités de l'intervalle. • Pour décider, on compare C'\,(x) au prix de vente et on contrôle par la marge : le coût minimal n'est pas le bon critère de production.

Le cours

1. Les outils de la synthèse • Coût marginal : C'\,(x), pente de la courbe de coût, en euros par module. • Tangente en un point : y = C'\,(a)\,(x-a) + C\,(a), de pente C'\,(a). • Sens de variation : celui du signe de C'\,(x), donc de C''\,(x) pour le coût marginal. • Quantité critique : la solution de C'\,(x) = 0 contenue dans l'intervalle de production. • Coût minimal : la plus petite des valeurs de C aux points critiques et aux extrémités. • Décision : comparer C'\,(x) au prix de vente p, puis contrôler par la marge. ÉtapeOutilApplication à C\,(x) = x^3-10x^2+25x+600 1DérivationC'\,(x) = 3x^2-20x+25 = (x-5)(3x-5) 2Quantités critiques1,67 et 5 modules 3Tableau de variations600 618,52 600 5\ 100 4Coût marginalC'\,(8) = 57, C'\,(9) = 88, C'\,(10) = 125 5Comparaison au prixavec p = 90 : 88 2. Le dossier complet de l'atelier Rivage L'atelier Rivage produit x modules, pour un coût total C\,(x) = x^3-10x^2+25x+600 et un prix de vente de 90\ € le module. Le coût minimal atteint 600\ € en 5 modules, mais la comparaison du coût marginal au prix de vente conduit à retenir 9 modules, avec une marge de 66\ €. L'atelier n'est bénéficiaire qu'entre 7 et 10 modules : le seuil de rentabilité se situe entre 6 et 7 modules, et au-delà de 10 modules la marge redevient négative. • Le coût minimal n'est pas le bon critère : il répond à « quel plan coûte le moins cher ? », pas à « quel plan rapporte le plus ? ». • Le critère pertinent est C'\,(x) = p, encadré par deux quantités entières, puis contrôlé par la marge. • La tangente donne une estimation locale immédiate du coût : en 9 modules, la tangente de pente 88 passe par 744\ €. 0 5 10 14 0 500 1000 1500 x (modules) euros coût minimal : 600 euros plan retenu : 9 modules perte au-delà de 10 modules recette : 90 euros par module 3. Les trois pièges du chapitre • Piège du coût marginal : confondre C'\,(x) avec le coût moyen C\,(x) x, qui donne un prix de revient et non une pente. • Piège de l'extremum : chercher le coût minimal là où le coût marginal est minimal, ou conserver une quantité critique négative. • Piège de la décision : retenir la quantité qui minimise le coût au lieu de celle qui dégage la meilleure marge, une fois le prix de vente connu.

Dans ce chapitre

• Taux de variation moyen d'une fonction entre deux points de classe de Seconde
• Pente d'une droite et coefficient directeur de classe de 3e
• Nombre dérivé approché par le quotient de deux accroissements de classe de Seconde
• Nombre dérivé comme limite du taux de variation
• Dérivées de x^2, x^3 et des polynômes de degré inférieur ou égal à 3
• Dérivée d'un coût total et coût marginal instantané
• Tangente à une courbe : pente et équation réduite en un point
• Tableau de variations d'un coût et coût minimal atteint
• Sens de variation du coût marginal et signe de la dérivée seconde
• Optimisation d'un coût par annulation de la dérivée
• Nombre critique de production et passage aux quantités entières
• Comparaison entre coût marginal et prix de vente
• Interprétation économique d'un seuil de rentabilité atteint par la dérivée du coût total
• Bilan : Synthèse et méthode sur Coût marginal, dérivée et optimisation d'un plan de production