Nombre dérivé approché par le quotient de deux accroissements de classe de Seconde

1ère Technologique · Mathématiques STMG 1ère

À retenir

• Nombre dérivé approché de f en a : f\,(a+h)-f\,(a)/h, quotient d'un accroissement de fonction par un accroissement de variable. • h est petit et non nul ; pour un coût, le résultat s'exprime en euros par module. • Deux estimations avec h = 0,1 et h = 0,01 doivent être proches : c'est le critère de fiabilité de la méthode.

Le cours

1. Un quotient d'accroissements autour d'un point Le coût total C de l'atelier Rivage est connu par sa fonction. Pour estimer sa vitesse de variation autour de x = 12, on choisit un petit nombre réel h non nul, et on calcule le quotient : C\,(12+h)-C\,(12)/h • Le numérateur est l'accroissement du coût quand la production passe de 12 à 12+h modules. • Le dénominateur h est l'accroissement de la production, en modules. • Ce nombre estimé, en euros par module, est le nombre dérivé approché de C en 12. Avec h = 0,1 : 1\ 209,961-1\ 1880,1 = 219,61. C'est une estimation de la pente de la courbe en ce point. 2. Méthode : le rôle du pas h • Je choisis le point a où je veux la pente : ici a = 12. • Je choisis un pas h petit mais ni nul ni trop grand : par exemple 0,1 ou 0,01. • Je calcule les deux valeurs de coût, puis le quotient. • Je compare deux valeurs de h : si elles se rapprochent, l'estimation est fiable. Pas h en modules10,50,10,01 C\,(12+h) en euros1\ 4321\ 303,1251\ 209,9611\ 190,172 Estimation de la pente, en euros par module244230,25219,61217,26 12 13 1200 1400 x (modules) C(x) en euros A 1 module 244 euros tangente : pente 217 3. Piège : un pas trop grand fausse l'estimation Avec h = 1 module, l'estimation donne 244\ € par module ; avec h = 0,01 module, elle donne 217,26\ €. L'écart de 26,74\ € n'est pas une erreur de calcul : sur un intervalle d'un module entier, la pente de la corde n'a plus rien à voir avec la pente de la courbe au point considéré. Le pas ne peut pas non plus être nul, puisque l'on divise par h. En pratique, on prend un pas de 0,1 puis 0,01 : ici les deux estimations, 219,61 et 217,26, ne diffèrent que de 2,35\ €, et l'on retient la valeur obtenue avec le plus petit pas.

Dans ce chapitre

• Taux de variation moyen d'une fonction entre deux points de classe de Seconde
• Pente d'une droite et coefficient directeur de classe de 3e
• Nombre dérivé approché par le quotient de deux accroissements de classe de Seconde
• Nombre dérivé comme limite du taux de variation
• Dérivées de x^2, x^3 et des polynômes de degré inférieur ou égal à 3
• Dérivée d'un coût total et coût marginal instantané
• Tangente à une courbe : pente et équation réduite en un point
• Tableau de variations d'un coût et coût minimal atteint
• Sens de variation du coût marginal et signe de la dérivée seconde
• Optimisation d'un coût par annulation de la dérivée
• Nombre critique de production et passage aux quantités entières
• Comparaison entre coût marginal et prix de vente
• Interprétation économique d'un seuil de rentabilité atteint par la dérivée du coût total
• Bilan : Synthèse et méthode sur Coût marginal, dérivée et optimisation d'un plan de production