Comparaison entre coût marginal et prix de vente

1ère Technologique · Mathématiques STMG 1ère

À retenir

• Une unité supplémentaire améliore la marge tant que le coût marginal C'\,(x) reste inférieur au prix de vente p. • Le plan de production s'arrête quand le coût marginal dépasse le prix : on encadre donc la quantité par deux entiers. • Contrôle indispensable : comparer les marges sur les deux entiers voisins, car la production se fait en modules entiers.

Le cours

1. Produire tant que le coût marginal reste sous le prix Une unité supplémentaire rapporte son prix de vente p et coûte son coût marginal C'\,(x). Elle améliore donc la marge de l'atelier tant que le coût marginal est inférieur au prix de vente. C'\,(x) C'\,(x) > p produire cette unité réduit la marge • Le plan optimal se situe près de la quantité où le coût marginal égale le prix : on l'encadre par deux entiers, puis on compare leurs marges. • Pour l'atelier Rivage avec p = 90\ € : C'\,(9) = 88 90. Modules produits x7891011 Coût marginal C'\,(x) en euros325788125168 Coût total C\,(x) en euros628672744850996 Marge 90x-C\,(x) en euros2486650-6 0 5 10 14 0 500 1000 x (modules) euros 9 modules marge 66 euros recette : 90 euros par module tangente : pente 88 2. Méthode de la comparaison • Je calcule le coût marginal C'\,(x) à la quantité étudiée et je le compare au prix p. • J'encadre la quantité critique de production par deux entiers : ici C'\,(9) = 88 90. • Je calcule la marge aux deux entiers de l'encadrement et je retiens la plus grande : 66\ € en 9 modules contre 50\ € en 10 modules. • Je contrôle de l'autre côté : en 8 modules, la marge n'est que de 48\ €. Le plan retenu est 9 modules. 3. Piège : produire là où le coût est minimal Pour l'atelier dont le coût est F\,(x) = 2x^3-9x^2-24x+400 et le prix de vente p = 72\ €, le coût minimal est atteint en 4 modules pour 288\ €. Produire 4 modules rapporte pourtant 4 72 = 288\ € : la marge est nulle. En 6 modules, le coût vaut 364\ € pour une recette de 432\ €, soit 68\ € de marge. Le plan qui minimise le coût n'est donc pas le plan qui dégage la meilleure marge : dès que le prix de vente dépasse le coût marginal, produire davantage reste avantageux. C'est le coût marginal, et non le coût minimal, qui doit être comparé au prix.

Dans ce chapitre

• Taux de variation moyen d'une fonction entre deux points de classe de Seconde
• Pente d'une droite et coefficient directeur de classe de 3e
• Nombre dérivé approché par le quotient de deux accroissements de classe de Seconde
• Nombre dérivé comme limite du taux de variation
• Dérivées de x^2, x^3 et des polynômes de degré inférieur ou égal à 3
• Dérivée d'un coût total et coût marginal instantané
• Tangente à une courbe : pente et équation réduite en un point
• Tableau de variations d'un coût et coût minimal atteint
• Sens de variation du coût marginal et signe de la dérivée seconde
• Optimisation d'un coût par annulation de la dérivée
• Nombre critique de production et passage aux quantités entières
• Comparaison entre coût marginal et prix de vente
• Interprétation économique d'un seuil de rentabilité atteint par la dérivée du coût total
• Bilan : Synthèse et méthode sur Coût marginal, dérivée et optimisation d'un plan de production