Nombre dérivé comme limite du taux de variation

1ère Technologique · Mathématiques STMG 1ère

À retenir

• f'\,(a) est le nombre vers lequel tend le taux de variation f\,(a+h)-f\,(a)/h quand h devient très petit. • Constater la convergence par un tableau de valeurs suffit en première : c'est une définition admise, pas une définition de la limite. • f'\,(a) est une pente : elle s'exprime en unités de f par unité de x, par exemple en euros par module pour un coût.

Le cours

1. Définition admise en classe de première Le nombre dérivé de la fonction f en un réel a est le nombre vers lequel se rapproche le taux de variation de f entre a et a+h quand on prend h très petit. On le note f'\,(a) et on dit que f est dérivable en a. f'\,(a) = nombre obtenu quand h tend vers 0 dans f\,(a+h)-f\,(a)/h • On ne demande pas de définir formellement la limite : on constate, par le calcul, que les valeurs obtenues se stabilisent. • f'\,(a) est une pente : celle de la droite qui « colle » à la courbe au point a. • Si f'\,(a) existe, on dit que le nombre dérivé est la vitesse de variation de f en a. 2. Constater la convergence sur le coût de l'atelier Pour le coût C\,(x) = x^3-10x^2+25x+600 de l'atelier Rivage, on calcule le quotient autour de a = 8 pour des pas de plus en plus petits : • h = 2 : 850-672/2 = 89 • h = 1 : 744-672/1 = 72 • h = 0,5 : 64,25 puis h = 0,1 : 58,41 • h = 0,01 : 57,14 puis h = 0,001 : 57,01 • Les valeurs se rapprochent de 57 : le nombre dérivé de C en 8 vaut C'\,(8) = 57. 6 8 10 12 600 800 x (modules) C(x) en euros tangente en A : pente 57 cordes : 89 puis 64,25 euros par module A : 8 modules, 672 euros 3. Ce que l'on peut et ne peut pas faire avec cette notion En première, le nombre dérivé n'est pas obtenu en résolvant une équation avec une limite : il se lit dans un tableau de valeurs du quotient, ou se calcule par une formule. On peut donc écrire « quand h devient très petit, le quotient vaut environ… », jamais « on remplace h par 0 dans le quotient » : le quotient n'est pas défini pour h = 0. Second piège : croire que f'\,(a) est la pente de la corde qui joint a à un point voisin. La pente de la corde dépend du point voisin choisi, comme on l'a vu avec 89 puis 64,25 : la pente de la tangente, elle, ne dépend que du point a.

Dans ce chapitre

• Taux de variation moyen d'une fonction entre deux points de classe de Seconde
• Pente d'une droite et coefficient directeur de classe de 3e
• Nombre dérivé approché par le quotient de deux accroissements de classe de Seconde
• Nombre dérivé comme limite du taux de variation
• Dérivées de x^2, x^3 et des polynômes de degré inférieur ou égal à 3
• Dérivée d'un coût total et coût marginal instantané
• Tangente à une courbe : pente et équation réduite en un point
• Tableau de variations d'un coût et coût minimal atteint
• Sens de variation du coût marginal et signe de la dérivée seconde
• Optimisation d'un coût par annulation de la dérivée
• Nombre critique de production et passage aux quantités entières
• Comparaison entre coût marginal et prix de vente
• Interprétation économique d'un seuil de rentabilité atteint par la dérivée du coût total
• Bilan : Synthèse et méthode sur Coût marginal, dérivée et optimisation d'un plan de production