Dérivée d'un coût total et coût marginal instantané

1ère Technologique · Mathématiques STMG 1ère

À retenir

• Le coût marginal instantané est la dérivée du coût total : C'\,(x), exprimée en euros par module. • Le signe de C'\,(x) indique l'effet d'une unité supplémentaire : coût en hausse si C'\,(x) > 0, coût en baisse si C'\,(x) < 0. • Coût moyen C\,(x) x et coût marginal C'\,(x) sont deux grandeurs différentes, à ne jamais échanger dans un devis.

Le cours

1. Le coût marginal instantané est la dérivée du coût La dérivée C'\,(x) d'une fonction de coût total C s'appelle le coût marginal instantané. C'est le coût de l'unité supplémentaire produite au voisinage immédiat de x modules, c'est-à-dire la pente de la courbe du coût en ce point. C'\,(x) = pente de la courbe de C au point d'abscisse x • L'unité est celle du quotient accroissement sur accroissement : des euros par module. • Pour l'atelier Rivage, C'\,(x) = 3x^2-20x+25, donc C'\,(8) = 57\ € par module. • Un coût marginal négatif signifie qu'une unité supplémentaire fait baisser le coût total. Modules produits x024681012 Coût marginal C'\,(x) en euros par module25-3-71357125217 Coût moyen C\,(x) x en euros par module—309151101848599 2. Méthode : dériver, puis lire la décision dans le signe • Je dérive la fonction de coût : C'\,(x) = 3x^2-20x+25. • Je calcule C'\,(x) à la quantité étudiée, en conservant l'unité. • J'interprète le signe : ici C'\,(4) = -7, donc produire une unité de plus coûte 7\ € de moins ; C'\,(8) = 57, donc elle coûte 57\ € de plus. • Je regarde comment évolue le coût marginal : d'après le tableau, il baisse de 25 à -7\ € par module entre 0 et 4 modules, puis remonte jusqu'à 217\ € par module en 12 modules. 7 8 9 10 11 600 700 800 900 x (modules) C(x) en euros tangente en A : pente 57 A : 8 modules 1 module 57 euros 3. Piège : confondre coût marginal et coût moyen En 8 modules, le coût moyen unitaire vaut 672 8 = 84\ € alors que le coût marginal instantané vaut 57\ € par module : les deux grandeurs ne se confondent pas. Le coût moyen est un quotient, le coût marginal une dérivée ; ils ne sont égaux que pour une seule production, environ 8,8 modules, là où le coût moyen est le plus bas. En 12 modules, l'écart s'inverse : coût moyen 99\ € contre coût marginal 217\ €. Comme C'\,(x) est une pente et non un prix, il ne faut pas non plus en déduire le prix de revient d'un module vendu.

Dans ce chapitre

• Taux de variation moyen d'une fonction entre deux points de classe de Seconde
• Pente d'une droite et coefficient directeur de classe de 3e
• Nombre dérivé approché par le quotient de deux accroissements de classe de Seconde
• Nombre dérivé comme limite du taux de variation
• Dérivées de x^2, x^3 et des polynômes de degré inférieur ou égal à 3
• Dérivée d'un coût total et coût marginal instantané
• Tangente à une courbe : pente et équation réduite en un point
• Tableau de variations d'un coût et coût minimal atteint
• Sens de variation du coût marginal et signe de la dérivée seconde
• Optimisation d'un coût par annulation de la dérivée
• Nombre critique de production et passage aux quantités entières
• Comparaison entre coût marginal et prix de vente
• Interprétation économique d'un seuil de rentabilité atteint par la dérivée du coût total
• Bilan : Synthèse et méthode sur Coût marginal, dérivée et optimisation d'un plan de production