Tableau de variations d'un coût et coût minimal atteint

1ère Technologique · Mathématiques STMG 1ère

À retenir

• Signe de C'\,(x) : positif, le coût augmente ; négatif, il diminue ; nul, il faut examiner les deux côtés. • Un extremum est local s'il n'est le meilleur que dans son voisinage ; il est global s'il est le meilleur de tout l'intervalle, extrémités comprises. • Pour un coût, comparer aussi les valeurs aux extrémités de l'intervalle de production : le minimum peut y être atteint, comme C\,(0) = 600\ € ici.

Le cours

1. Du signe de la dérivée aux variations du coût Le signe du coût marginal donne directement le sens de variation du coût total : C'\,(x) > 0 C est croissante C'\,(x) • Les valeurs de C se calculent aux points où C'\,(x) = 0 et aux extrémités de l'intervalle. • Une valeur nulle de C'\,(x) ne donne un extremum que si C' change de signe en ce point. Pour l'atelier Rivage, C'\,(x) = (x-5)(3x-5) s'annule en 5/3 1,67 et en 5. Quantité produitede 0 à 1,671,67de 1,67 à 55de 5 à 20 Signe de C'\,(x)+0-0+ Coût total C\,(x) en eurosde 600 618,52600 jusqu'à 5\ 100 Conséquencecroissancemaximumdécroissanceminimumcroissance 0 2 4 6 8 600 620 x (modules) C(x) en euros maximum local : 618,52 euros minimum : 600 euros 600 euros aussi sans production 2. Méthode pour le coût minimal • Je dérive le coût et je factorise pour trouver les quantités critiques. • J'étudie le signe de la dérivée sur l'intervalle de production possible, ici de 0 à 20 modules. • Je compare les valeurs de C aux points critiques et aux extrémités de l'intervalle : ici 600\ €, 618,52\ €, 600\ € et 5\ 100\ €. • La plus petite de ces valeurs est le coût minimal, et la quantité correspondante est le plan de production à retenir. 3. Piège : confondre maximum local et minimum global Le tableau contient deux points où la dérivée s'annule. En 1,67 module, le coût vaut 618,52\ € : c'est un maximum, car le coût augmente avant et diminue après. En 5 modules, il vaut 600\ € : c'est un minimum, car le coût diminue avant et augmente après. Autre piège : oublier l'extrémité de l'intervalle. Ici le coût vaut aussi 600\ € pour 0 module : le minimum est atteint en deux points, et une série de 5 modules ne coûte pas plus cher qu'une série vide. Enfin, un extremum local n'est pas forcément le meilleur coût de tout l'intervalle.

Dans ce chapitre

• Taux de variation moyen d'une fonction entre deux points de classe de Seconde
• Pente d'une droite et coefficient directeur de classe de 3e
• Nombre dérivé approché par le quotient de deux accroissements de classe de Seconde
• Nombre dérivé comme limite du taux de variation
• Dérivées de x^2, x^3 et des polynômes de degré inférieur ou égal à 3
• Dérivée d'un coût total et coût marginal instantané
• Tangente à une courbe : pente et équation réduite en un point
• Tableau de variations d'un coût et coût minimal atteint
• Sens de variation du coût marginal et signe de la dérivée seconde
• Optimisation d'un coût par annulation de la dérivée
• Nombre critique de production et passage aux quantités entières
• Comparaison entre coût marginal et prix de vente
• Interprétation économique d'un seuil de rentabilité atteint par la dérivée du coût total
• Bilan : Synthèse et méthode sur Coût marginal, dérivée et optimisation d'un plan de production