Optimisation d'un coût par annulation de la dérivée

1ère Technologique · Mathématiques STMG 1ère

À retenir

• Optimiser un coût : dériver, résoudre C'\,(x) = 0, ne garder que les solutions de l'intervalle, étudier le signe, comparer les valeurs. • Si C'\,(x) garde le même signe sur l'intervalle, le coût est monotone et le minimum est une extrémité. • Une quantité critique négative ou hors capacité se supprime avant toute comparaison de valeurs.

Le cours

1. Chercher le coût minimal : la méthode en cinq temps • J'écris la fonction de coût C et l'intervalle de production possible. • Je calcule C'\,(x) et je résous l'équation C'\,(x) = 0 par factorisation. • Je ne garde que les solutions qui appartiennent à l'intervalle. • J'étudie le signe de C'\,(x) de part et d'autre de ces solutions. • Je compare les valeurs de C aux points critiques et aux extrémités de l'intervalle. Pour l'atelier Rivage : C'\,(x) = (x-5)(3x-5), donc C'\,(x) = 0 pour x = 5/3 et x = 5. 2. Le cas où la quantité critique est à l'extérieur de l'intervalle • Si C'\,(x) garde le même signe sur tout l'intervalle, le coût est monotone : le minimum est à une extrémité. • Si une solution de C'\,(x) = 0 est négative ou dépasse la capacité, elle est écartée. • Exemple : pour F\,(x) = 2x^3-9x^2-24x+400, on a F'\,(x) = 6(x-4)(x+1) : la racine x = -1 n'a aucun sens en production. Fonction de coûtIntervalleQuantités critiques retenuesValeurs comparéesCoût minimal C\,(x) = x^3-10x^2+25x+600[0\,;\,20]1,67 et 5600 ; 618,52 ; 600 ; 5\ 100600\ € en 5 modules F\,(x) = 2x^3-9x^2-24x+400[0\,;\,20]4 (la racine -1 est écartée)400 ; 288 ; 12\ 320288\ € en 4 modules 3. Les quatre issues possibles d'une optimisation • Le minimum est un point critique intérieur : c'est le cas de F en 4 modules. • Le minimum est une extrémité de l'intervalle : c'est le cas si le coût est croissant partout, par exemple lorsqu'une commande impose un minimum de 6 modules. • Le point critique intérieur est un maximum : c'est le cas de C en 1,67 module, avec 618,52\ €. • Deux points réalisent le même minimum : ici C\,(0) = C\,(5) = 600\ €, car C\,(x) = 600 + x\,(x-5)^2 et la partie variable x\,(x-5)^2 est nulle pour x = 0 et pour x = 5. 4. Pièges de l'optimisation Premier piège : garder une quantité critique négative, qui correspondrait à retirer des modules au lieu d'en produire. Une production ne peut pas être négative : on écarte systématiquement les solutions hors de l'intervalle. Second piège : oublier de comparer les extrémités. Sur un intervalle fermé, le minimum peut se trouver à un bout de l'intervalle alors que la dérivée s'annule ailleurs. Troisième piège : confondre la quantité qui minimise le coût et la quantité qui maximise la marge. Produire là où le coût est minimal n'est pas nécessairement optimal : dès que le prix de vente dépasse le coût marginal, il peut être préférable de produire davantage.

Dans ce chapitre

• Taux de variation moyen d'une fonction entre deux points de classe de Seconde
• Pente d'une droite et coefficient directeur de classe de 3e
• Nombre dérivé approché par le quotient de deux accroissements de classe de Seconde
• Nombre dérivé comme limite du taux de variation
• Dérivées de x^2, x^3 et des polynômes de degré inférieur ou égal à 3
• Dérivée d'un coût total et coût marginal instantané
• Tangente à une courbe : pente et équation réduite en un point
• Tableau de variations d'un coût et coût minimal atteint
• Sens de variation du coût marginal et signe de la dérivée seconde
• Optimisation d'un coût par annulation de la dérivée
• Nombre critique de production et passage aux quantités entières
• Comparaison entre coût marginal et prix de vente
• Interprétation économique d'un seuil de rentabilité atteint par la dérivée du coût total
• Bilan : Synthèse et méthode sur Coût marginal, dérivée et optimisation d'un plan de production