Pente d'une droite et coefficient directeur de classe de 3e

1ère Technologique · Mathématiques STMG 1ère

À retenir

• Coefficient directeur d'une droite : a = y_B-y_A/x_B-x_A, rapport de l'écart vertical sur l'écart horizontal. • Équation réduite d'une droite : y = ax + b, avec b = y_A - a x_A. • Pour une courbe de coût, la pente d'une corde donne un coût moyen sur l'intervalle, pas un coût instantané.

Le cours

1. Coefficient directeur d'une droite Une droite du plan se caractérise par sa pente, appelée coefficient directeur. Pour deux points A\,(x_A\,;\,y_A) et B\,(x_B\,;\,y_B) d'abscisses différentes, ce coefficient est le rapport entre l'accroissement des ordonnées et l'accroissement des abscisses : a = y_B-y_A/x_B-x_A = écart verticalécart horizontal • L'écart horizontal x_B-x_A se mesure sur l'axe des abscisses. • L'écart vertical y_B-y_A se mesure sur l'axe des ordonnées. • Une pente positive signifie que la droite monte vers la droite, une pente négative qu'elle descend. 2. La droite qui passe par deux points du coût total Sur la courbe du coût de l'atelier, le segment qui relie le point A (8 modules, 672\ €) au point B (12 modules, 1\ 188\ €) est porté par une droite : sa pente vaut a = 1\ 188-672/12-8 = 516/4 = 129 • La droite d'équation réduite y = 129x - 360 passe par A et par B. • Cette pente de 129\ € par module est un coût moyen sur la tranche 8 à 12 modules, pas un coût instantané. • Comme y = ax + b, on en déduit b = 672 - 129 8 = -360. 0 5 10 15 20 0 500 1000 x (modules) C(x) en euros A B 4 modules 516 euros coefficient directeur : 129 euros par module 3. Pièges du coefficient directeur Premier piège : inverser le quotient. La pente d'une droite est un nombre sans unité dans un repère où les deux axes ont la même unité ; pour un coût, l'écart horizontal est en modules et l'écart vertical en euros, donc une pente en euros par module. Écrire x_B-x_A/y_B-y_A revient à annoncer « 0,0078 module par euro », qui n'est pas une pente de coût. Second piège : prendre pour la pente du coût la pente de la droite joignant deux points très éloignés de la courbe. Plus l'intervalle est large, plus la droite s'éloigne de la courbe réelle, et plus la pente obtenue ne décrit plus le coût local. C'est cette pente instantanée que l'on obtiendra, au chapitre suivant, avec le nombre dérivé.

Dans ce chapitre

• Taux de variation moyen d'une fonction entre deux points de classe de Seconde
• Pente d'une droite et coefficient directeur de classe de 3e
• Nombre dérivé approché par le quotient de deux accroissements de classe de Seconde
• Nombre dérivé comme limite du taux de variation
• Dérivées de x^2, x^3 et des polynômes de degré inférieur ou égal à 3
• Dérivée d'un coût total et coût marginal instantané
• Tangente à une courbe : pente et équation réduite en un point
• Tableau de variations d'un coût et coût minimal atteint
• Sens de variation du coût marginal et signe de la dérivée seconde
• Optimisation d'un coût par annulation de la dérivée
• Nombre critique de production et passage aux quantités entières
• Comparaison entre coût marginal et prix de vente
• Interprétation économique d'un seuil de rentabilité atteint par la dérivée du coût total
• Bilan : Synthèse et méthode sur Coût marginal, dérivée et optimisation d'un plan de production