Nombre critique de production et passage aux quantités entières

1ère Technologique · Mathématiques STMG 1ère

À retenir

• Le nombre critique de production est la solution de C'\,(x) = 0 située dans l'intervalle de production. • S'il n'est pas entier, on compare les coûts aux deux entiers qui l'encadrent : c'est le passage aux quantités entières. • Si la production est imposée par lots de k modules, on compare seulement les multiples de k.

Le cours

1. La quantité critique est la solution de l'équation C'\,(x) = 0 On appelle nombre critique de production la quantité x pour laquelle le coût marginal instantané s'annule, autrement dit la solution de C'\,(x) = 0 située dans l'intervalle de production. C'est là que le coût total peut changer de sens de variation, si C' change de signe. • Pour F\,(x) = 2x^3-9x^2-24x+400, on a F'\,(x) = 6\,(x-4)(x+1) : le nombre critique est 4 modules. • Si la solution n'est pas un nombre entier, la production réelle ne peut pas l'atteindre exactement. • Il faut alors comparer les deux quantités entières qui l'encadrent : c'est le passage aux quantités entières. Coût renégocié g\,(x)344,8356 Coût en euros274240229,49230256 Quantité réellement produisibleouiouinonouioui 0 2 4 6 8 300 400 500 x (modules) F(x) en euros 301 euros 288 euros 305 euros quantité critique : 4 modules 2. Méthode du passage aux quantités entières • Si le nombre critique est déjà entier, il est directement utilisable : ici 4 modules pour F. • Sinon, j'encadre : g'\,(4) = -24 0, donc la quantité critique est comprise entre 4 et 5 modules. • Je calcule le coût aux deux entiers voisins : g\,(4) = 240\ € et g\,(5) = 230\ €. • Je retiens le moins cher des deux, ici 5 modules pour 230\ €. • Si la production se fait par lots de k modules, je compare seulement 0, k, 2k : ici F\,(0) = 400, F\,(5) = 305 et F\,(10) = 1\ 260\ €. 3. Pièges du passage aux quantités entières Premier piège : arrondir la quantité critique au plus proche entier sans comparer les coûts. Ici la quantité critique vaut 4,83 : l'entier le plus proche est bien 5, mais la décision correcte vient de la comparaison 230 Second piège : conserver une valeur de coût calculée en 4,83 modules, soit 229,49\ €. On ne peut pas fabriquer 4,83 modules : le coût à retenir est bien 230\ €, supérieur de 0,51\ €. Troisième piège : oublier la contrainte de lots. Si les séries se font par multiples de 5, le minimum théorique en 4 modules est inatteignable, et le surcoût réel atteint 305-288 = 17\ €.

Dans ce chapitre

• Taux de variation moyen d'une fonction entre deux points de classe de Seconde
• Pente d'une droite et coefficient directeur de classe de 3e
• Nombre dérivé approché par le quotient de deux accroissements de classe de Seconde
• Nombre dérivé comme limite du taux de variation
• Dérivées de x^2, x^3 et des polynômes de degré inférieur ou égal à 3
• Dérivée d'un coût total et coût marginal instantané
• Tangente à une courbe : pente et équation réduite en un point
• Tableau de variations d'un coût et coût minimal atteint
• Sens de variation du coût marginal et signe de la dérivée seconde
• Optimisation d'un coût par annulation de la dérivée
• Nombre critique de production et passage aux quantités entières
• Comparaison entre coût marginal et prix de vente
• Interprétation économique d'un seuil de rentabilité atteint par la dérivée du coût total
• Bilan : Synthèse et méthode sur Coût marginal, dérivée et optimisation d'un plan de production