Dérivées de x^2, x^3 et des polynômes de degré inférieur ou égal à 3

1ère Technologique · Mathématiques STMG 1ère

À retenir

• (x)' = 1, (x^2)' = 2x, (x^3)' = 3x^2, et la dérivée d'une constante est nulle. • Pour a x^3+b x^2+c x+d : la dérivée vaut 3a x^2+2b x+c, la constante disparaît. • On dérive terme par terme, après avoir développé : une parenthèse dépendant de x n'est jamais une constante.

Le cours

1. Les trois dérivées à connaître En première STMG, on connaît les dérivées d'une constante (nulle), de x, de x^2 et de x^3 ; on les combine ensuite par somme et par multiplication par un nombre. (x)' = 1, (x^2)' = 2x, (x^3)' = 3x^2 • Un polynôme de degré au plus 3 s'écrit a x^3+b x^2+c x+d et sa dérivée s'obtient terme par terme. (a x^3+b x^2+c x+d)' = 3a x^2 + 2b x + c • La constante d disparaît : une somme fixe ne varie pas quand la production change. • Pour un terme k\,x^n (n = 2 ou 3) : on multiplie le coefficient k par l'exposant n, et l'exposant diminue de 1. Ainsi -10x^2 donne -20x. 2. Méthode pour dériver une fonction de coût • J'écris le coût sous forme développée, sans parenthèses ni produits. • Je dérive chaque terme séparément : x^3 donne 3x^2, x^2 donne 2x, x donne 1. • J'assemble les résultats dans le même ordre, puis je factorise si cela simplifie la suite. • Pour le coût de l'atelier Rivage : C'\,(x) = 3x^2-20x+25. ExpressionDérivéeCommentaire 6000coût fixe de l'atelier 25x25part proportionnelle à la production -10x^2-20xremise liée aux séries x^33x^2surcoût des heures supplémentaires 3. Pièges de la dérivation d'un coût Premier piège : oublier le facteur 3. La dérivée de x^3 est 3x^2 et non x^2 ; sans le 3, on sous-estime la croissance du coût dans la zone où il domine. Second piège, plus grave : dériver un produit sans le développer. Le coût de l'atelier peut aussi s'écrire C\,(x) = 600 + x\,(x-5)^2. Le terme (x-5)^2 n'est pas une constante : on développe d'abord x\,(x-5)^2 = x^3-10x^2+25x, et on dérive ensuite. Troisième piège : conserver la constante d dans la dérivée. La charge fixe de 600\ € ne change pas quand la production change, donc sa dérivée est nulle.

Dans ce chapitre

• Taux de variation moyen d'une fonction entre deux points de classe de Seconde
• Pente d'une droite et coefficient directeur de classe de 3e
• Nombre dérivé approché par le quotient de deux accroissements de classe de Seconde
• Nombre dérivé comme limite du taux de variation
• Dérivées de x^2, x^3 et des polynômes de degré inférieur ou égal à 3
• Dérivée d'un coût total et coût marginal instantané
• Tangente à une courbe : pente et équation réduite en un point
• Tableau de variations d'un coût et coût minimal atteint
• Sens de variation du coût marginal et signe de la dérivée seconde
• Optimisation d'un coût par annulation de la dérivée
• Nombre critique de production et passage aux quantités entières
• Comparaison entre coût marginal et prix de vente
• Interprétation économique d'un seuil de rentabilité atteint par la dérivée du coût total
• Bilan : Synthèse et méthode sur Coût marginal, dérivée et optimisation d'un plan de production