Sens de variation du coût marginal et signe de la dérivée seconde

1ère Technologique · Mathématiques STMG 1ère

À retenir

• C''\,(x) 0 : il augmente. • Le coût marginal est minimal là où C''\,(x) = 0 avec changement de signe : c'est là que le coût total descend le plus vite. • Économies d'échelle quand le coût marginal baisse, rendements décroissants quand il monte.

Le cours

1. La dérivée seconde donne le sens de variation du coût marginal La dérivée seconde C'' est la dérivée du coût marginal. Son signe renseigne sur l'évolution du coût marginal lui-même : C''\,(x) 0 C' est croissante • Le coût marginal est minimal là où C''\,(x) s'annule en passant du négatif au positif. • Pour l'atelier Rivage, C''\,(x) = 6x-20 : le coût marginal diminue jusqu'à x = 10/3 3,33 modules, puis augmente. 2. Interprétation économique des deux phases • Tant que le coût marginal diminue, l'atelier profite d'économies d'échelle : chaque module supplémentaire coûte un peu moins que le précédent. • Quand le coût marginal augmente, l'atelier subit des rendements décroissants : sous-traitance, heures supplémentaires, usure des machines. • Là où le coût marginal est minimal, la courbe du coût total a sa pente la plus faible : c'est là qu'elle descend le plus vite (pente -8,33 en 3,33 modules). Modules x03,335812 Coût marginal C'\,(x)25-8,33057217 Dérivée seconde C''\,(x)-200102852 Évolutiondiminueminimumaugmenteaugmenteaugmente 0 5 10 14 0 100 200 300 x (modules) C'(x) en euros minimum du coût marginal : -8,33 euros zéros : 1,67 et 5 modules 3. Piège : chercher le minimum de C là où C' est minimal En 3,33 modules, le coût marginal atteint son minimum, soit -8,33\ € par module. Or le coût total n'y est pas minimal : C\,(3,33) = 609,26\ € contre 600\ € en 5 modules. Le minimum du coût marginal correspond au point où le coût total descend le plus vite, pas au point où il est le plus bas. Les deux recherches reposent sur deux équations différentes : C'\,(x) = 0, avec changement de signe de C', pour un extremum du coût total ; C''\,(x) = 0, avec changement de signe de C'', pour un extremum du coût marginal.

Dans ce chapitre

• Taux de variation moyen d'une fonction entre deux points de classe de Seconde
• Pente d'une droite et coefficient directeur de classe de 3e
• Nombre dérivé approché par le quotient de deux accroissements de classe de Seconde
• Nombre dérivé comme limite du taux de variation
• Dérivées de x^2, x^3 et des polynômes de degré inférieur ou égal à 3
• Dérivée d'un coût total et coût marginal instantané
• Tangente à une courbe : pente et équation réduite en un point
• Tableau de variations d'un coût et coût minimal atteint
• Sens de variation du coût marginal et signe de la dérivée seconde
• Optimisation d'un coût par annulation de la dérivée
• Nombre critique de production et passage aux quantités entières
• Comparaison entre coût marginal et prix de vente
• Interprétation économique d'un seuil de rentabilité atteint par la dérivée du coût total
• Bilan : Synthèse et méthode sur Coût marginal, dérivée et optimisation d'un plan de production