Tangente à une courbe : pente et équation réduite en un point

1ère Technologique · Mathématiques STMG 1ère

À retenir

• Tangente en A\,(a\,;\,C\,(a)) : y = C'\,(a)\,(x-a) + C\,(a), donc une équation réduite de la forme y = mx+p. • m = C'\,(a) est le coût marginal instantané en a, et la droite passe nécessairement par A. • Une tangente horizontale (pente nulle) signale un extremum possible, à confirmer par le changement de signe de C'.

Le cours

1. Tangente en un point d'une courbe En un point A d'abscisse a, la tangente à la courbe de C est la droite qui passe par A et dont la pente vaut C'\,(a). Son équation s'écrit : y = C'\,(a)\,(x-a) + C\,(a) • Le coefficient de x est la pente, donc le nombre dérivé en a. • La constante s'obtient en imposant que la droite passe par A\,(a\,;\,C\,(a)). • Une tangente horizontale a une pente nulle : un extremum est possible en ce point, à confirmer par le changement de signe de C'. 2. Méthode pour la tangente au coût de l'atelier Tangente en 8 modules : C'\,(8) = 57 et C\,(8) = 672\ €. • Je calcule le nombre dérivé : c'est la pente, ici 57. • Je calcule l'ordonnée du point de contact : ici 672\ €. • J'écris y = 57\,(x-8)+672, soit l'équation réduite y = 57x + 216. • Je contrôle : en x = 8, la droite redonne bien 57 8+216 = 672\ €. 0 5 10 14 500 1000 1500 x (modules) C(x) en euros tangente horizontale minimum local : 600 euros B : pente 217 3. Pièges de la tangente Premier piège : écrire une tangente qui ne passe pas par le point de la courbe. La droite y = 57x a bien la bonne pente, mais elle passe par l'origine : ce n'est pas la tangente, seulement une droite parallèle. L'erreur vaut ici 216\ €. Second piège : confondre tangente et corde. La corde qui joint A\,(8\,;\,672) au point B\,(12\,;\,1\ 188) a une pente de 129, très différente des 57 de la tangente en A : la pente d'une corde dépend du second point choisi, celle de la tangente ne dépend que du point de contact. Troisième piège : lire une valeur de coût sur une tangente. La tangente en 8 modules redonne 786\ € en 10 modules alors que le coût réel vaut 850\ € : la tangente sert à estimer une variation locale, pas à prédire le coût loin du point de contact.

Dans ce chapitre

• Taux de variation moyen d'une fonction entre deux points de classe de Seconde
• Pente d'une droite et coefficient directeur de classe de 3e
• Nombre dérivé approché par le quotient de deux accroissements de classe de Seconde
• Nombre dérivé comme limite du taux de variation
• Dérivées de x^2, x^3 et des polynômes de degré inférieur ou égal à 3
• Dérivée d'un coût total et coût marginal instantané
• Tangente à une courbe : pente et équation réduite en un point
• Tableau de variations d'un coût et coût minimal atteint
• Sens de variation du coût marginal et signe de la dérivée seconde
• Optimisation d'un coût par annulation de la dérivée
• Nombre critique de production et passage aux quantités entières
• Comparaison entre coût marginal et prix de vente
• Interprétation économique d'un seuil de rentabilité atteint par la dérivée du coût total
• Bilan : Synthèse et méthode sur Coût marginal, dérivée et optimisation d'un plan de production