Écart-type d'une série de ventes et lecture de la dispersion

1ère Technologique · Mathématiques STMG 1ère

À retenir

• Écart-type : = (x_i - x)^2n ; il s'exprime dans l'unité des données. • La somme des écarts x_i - x vaut 0 ; c'est la somme de leurs *carrés* qui est utilisée. • Calculatrice : retenir _x (division par n), pas s_x (division par n - 1) ; au tableur, `ECARTYPEP`. • Un écart-type plus faible signifie une série plus resserrée, donc plus prévisible.

Le cours

1. L'écart-type : la dispersion autour de la moyenne La moyenne et l'étendue ne disent pas si les mois sont groupés ou dispersés autour de leur moyenne. L'écart-type répond à cette question : il tient compte de *toutes* les valeurs, en mesurant l'écart de chacune à la moyenne, puis en moyennant le carré de ces écarts. = (x_i - x)^2n Pour la filière Audio domestique, la somme des carrés des écarts vaut 323,33, d'où : = 323,336 = 53,89 = 7,34\ k€ • Un écart-type nul signifie que toutes les valeurs sont égales : il n'y a alors aucune dispersion. • L'écart-type s'exprime dans l'unité des données : des milliers d'euros ici. • Il ne dit pas si la série est plutôt haute ou plutôt basse, seulement à quel point elle est resserrée. MoisNov.Déc.Janv.Févr.MarsAvrilSomme CA (k€)626875718084440 Écart à la moyenne (k€)-11,33-5,331,67-2,336,6710,670 Carré de l'écart128,4428,442,785,4444,44113,78323,33 2. Sur la calculatrice : _x et s_x En mode statistiques, la calculatrice affiche deux écarts-types. Celui du cours est _x (ou ), obtenu en divisant par l'effectif n : c'est lui qu'on retient. L'autre, noté s_x, divise par n - 1 ; il sert à d'autres usages (estimation à partir d'un échantillon, étudiée dans l'enseignement supérieur) et donne une valeur un peu plus grande. _x = 323,336 7,34\ k€ s_x = 323,335 8,04\ k€ • Au programme : _x, avec division par l'effectif total n. • Le tableur fait la même distinction : `ECARTYPEP` divise par n, `ECARTYPE` divise par n - 1. • Les deux valeurs se rapprochent quand n est grand ; ici, avec 6 valeurs, elles diffèrent d'environ 9,5\ \%. 3. La méthode en cinq gestes • 1. Calculer la moyenne de la série. • 2. Soustraire la moyenne à chaque valeur : les écarts positifs et négatifs doivent se compenser, leur somme vaut 0. • 3. Élever chaque écart au carré : les écarts négatifs deviennent positifs. • 4. Additionner les carrés, puis diviser par l'effectif n : on obtient la variance. • 5. Prendre la racine carrée : on retrouve l'unité des données. 4. Les pièges de l'écart-type • Oublier la racine carrée : la variance 53,89 n'est pas un écart-type, et son unité est le (k€)^2, pas le k€. • Additionner des écarts au lieu de les multiplier par eux-mêmes : la somme vaut 0 par construction et ne renseigne rien. • Confondre écart-type et étendue : l'étendue (22 k€) ne dépend que des deux mois extrêmes, l'écart-type (7,34 k€) de tous les mois.

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