Droite d'ajustement affine par la méthode des moindres carrés

1ère Technologique · Mathématiques STMG 1ère

À retenir

• Point moyen G(p\,;\,q) : la droite des moindres carrés passe par ce point, ici G(150\,;\,190). • Coefficient directeur : a = (p_i - p)(q_i - q) (p_i - p)^2, ici a = -1,4 (la quantité baisse de 1,4 unité par euro de hausse du prix). • Ordonnée à l'origine : b = q - a p, ici b = 400. • La droite d'ajustement est q = -1,4p + 400 ; elle résume le nuage, elle ne passe pas par tous les points.

Le cours

1. Le point moyen du nuage Pour transformer le nuage en droite, on cherche la droite qui résume le mieux les six observations. La droite d'ajustement obtenue par la méthode des moindres carrés, celle que donnent la calculatrice et le tableur, passe toujours par le *point moyen* du nuage : son abscisse est la moyenne des prix, son ordonnée la moyenne des quantités vendues. p = 200 + 180 + 160 + 140 + 120 + 100/6 = 150 q = 1\,140/6 = 190 Le point G(150\,;\,190) est donc le pivot de la droite cherchée. 2. Le coefficient directeur par les moindres carrés La *méthode des moindres carrés* retient la droite qui rend la plus petite possible la somme des carrés des écarts verticaux entre les points et la droite. Son coefficient directeur se calcule avec les écarts au point moyen : on multiplie deux à deux les écarts de prix et de quantité, puis on divise leur somme par la somme des carrés des écarts de prix. Il mesure de combien la quantité vendue varie, en moyenne, quand le prix augmente de 1 euro. En pratique, la calculatrice (régression linéaire) ou le tableur (fonctions `PENTE` et `ORDONNEE.ORIGINE`) donne directement a et b. a = (p_i - p)(q_i - q) (p_i - p)^2 = -9\,800/7\,000 = -1,4 L'ordonnée à l'origine s'obtient ensuite en obligant la droite à passer par G : b = q - a p = 190 - (-1,4 150) = 400 d'où q = -1,4p + 400 Calcul200180160140120100Somme p - p503010-10-30-500 q - q-68-44-181844680 (p - p)(q - q)-3 400-1 320-180-180-1 320-3 400-9 800 (p - p)^22 5009001001009002 5007 000 100 120 140 160 180 200 Prix de vente p (€) 120 160 200 240 Quantité vendue q G (150 ; 190) 3. La méthode en six gestes • 1. Calculer p et q, et placer G. • 2. Calculer les écarts p_i - p et q_i - q : leurs sommes sont nulles. • 3. Multiplier les écarts deux à deux, puis additionner : ici -9\,800. • 4. Élever les écarts de prix au carré, puis additionner : ici 7\,000. • 5. Diviser : a = -9\,800/7\,000 = -1,4 est le coefficient directeur. • 6. Calculer b = q - ap : la droite d'ajustement est alors connue. 4. Lire la droite obtenue • Le coefficient directeur a = -1,4 s'interprète ainsi : quand le prix augmente de 1 euro, la quantité vendue diminue en moyenne de 1,4 unités. • L'ordonnée à l'origine b = 400 n'est pas un résultat économique : à prix nul, elle décrit ce que donnerait la tendance extrapolée, ce qui n'a aucun sens commercial. • La droite passe par G : on vérifie -1,4 150 + 400 = 190 ✓, et l'on retrouve ainsi la quantité moyenne réellement constatée. 5. Les pièges de l'ajustement • Relier le premier et le dernier point du nuage : la droite obtenue, de coefficient -1,36, n'est pas la droite d'ajustement, car elle ignore les quatre points intermédiaires. • Inverser le numérateur et le dénominateur : on obtiendrait 7\,000/-9\,800 -0,714, qui n'est pas la pente de q en fonction de p. • Oublier le signe moins des écarts : la somme des produits vaut alors +9\,800 et la droite remonterait au lieu de descendre.

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