Expérience aléatoire à deux épreuves indépendantes dans un contexte commercial

1ère Technologique · Mathématiques STMG 1ère

À retenir

• Deux épreuves indépendantes : le résultat de la première ne change pas la probabilité de la seconde. • Le test de l'indépendance : la probabilité de la deuxième branche est la même sur les deux branches de la première. • Les quatre issues d'un parcours à deux épreuves s'additionnent à 1 : c'est le contrôle de validité du modèle. • Une probabilité devient un volume en la multipliant par le nombre d'épreuves réalisées.

Le cours

1. Une expérience à deux épreuves La boutique en ligne Lumen suit le parcours d'un visiteur en deux étapes. L'épreuve 1 consiste à cliquer ou non sur la bannière promotionnelle ; l'épreuve 2 consiste à finaliser ou non la commande. On veut connaître la probabilité qu'un visiteur réalise les deux gestes, ou un seul des deux. • On note A l'événement « le visiteur clique » et B l'événement « le visiteur commande », avec P(A) = 0,30 et P(B) = 0,60. • Une intersection A B se lit « clic et commande » : pour deux épreuves indépendantes, sa probabilité est un produit, pas une somme. • Une union A B se lit « clic ou commande » : là, on additionne, en faisant attention aux doubles comptes. 2. Que signifie « indépendant » ? Deux épreuves sont indépendantes quand le résultat de la première ne modifie pas la probabilité de la seconde : la probabilité de commander reste la même que le visiteur ait cliqué ou non. Concrètement, sur l'arbre, la probabilité portée par la deuxième branche est rigoureusement la même en haut et en bas. • Test opérationnel : si les deux branches du second niveau portent 0,60, les épreuves sont indépendantes. • Contre-exemple : une bannière qui affiche une remise peut augmenter le taux de commande ; dans ce cas les épreuves sont dépendantes. • Indépendant ne veut pas dire « successif » : les deux notions sont différentes, on peut avoir des épreuves successives et dépendantes. Issue du parcoursCalculProbabilité Clic et commande (A B)0,30 0,600,18 Clic sans commande (A B)0,30 - 0,180,12 Commande sans clic (A B)0,70 0,600,42 Ni clic ni commande0,70 0,400,28 Total0,18+0,12+0,42+0,281 3. Vérifier que le modèle tient Les quatre issues du tableau se partagent tout le champ des possibles : leur somme vaut 1. Si elle ne vaut pas 1, le modèle est faux — c'est le test le plus rapide pour détecter une erreur de calcul ou une issue oubliée. Attention à la lecture des conclusions : 0,18 est la proportion de visiteurs qui font les deux gestes, et non la part des visiteurs ayant cliqué parmi ceux qui commandent, qui vaut 0,18 / 0,60 = 0,30 : avec des épreuves indépendantes, on retrouve exactement P(A). 4. Du modèle au volume d'affaires Une probabilité devient un chiffre d'affaires dès qu'on la multiplie par un volume. La boutique Lumen reçoit 10\ 000 visites par mois : elle peut convertir ses pourcentages en volumes de commandes et en paniers moyens. • Commandes après un clic : 10\ 000 0,18 = 1\ 800 commandes. • Commandes sans clic : 10\ 000 0,42 = 4\ 200 commandes. • Total des commandes : 6\ 000, soit bien 60\ \% des visites.

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