Arbre pondéré et lecture des probabilités locales

1ère Technologique · Mathématiques STMG 1ère

À retenir

• Les nombres inscrits sur les branches sont des probabilités locales : elles se lisent, elles ne se calculent pas. • À un nœud, les probabilités des branches issues s'additionnent à 1 ; une branche manquante vaut 1 - p. • Une probabilité du second niveau est une probabilité conditionnelle : elle se lit « sachant » le premier résultat. • Une feuille s'obtient en multipliant les probabilités locales le long du chemin qui y mène.

Le cours

1. Ce qu'est un arbre pondéré L'arbre pondéré sert à organiser les issues d'une expérience à plusieurs étapes. Les nombres inscrits sur les branches sont les probabilités locales : chacune se lit seule, sans calcul. Chaque branche porte l'issue visée à son extrémité et la probabilité de l'atteindre depuis le nœud dont elle part. • À un nœud, les probabilités des branches issues s'additionnent à 1 : c'est une partition des possibilités. • Le second niveau se lit sachant le premier résultat : 0,15 est la probabilité de défaut si le dossier est complet. • Chaque issue de l'expérience correspond à un chemin complet, de la racine jusqu'à une feuille. Départ Dossier complet Dossier incomplet 0,70 0,30 0,85 0,15 0,55 0,45 Remboursé : 0,595 Défaut : 0,105 Remboursé : 0,165 Défaut : 0,135 Étape 2 : issue du dossier de garantie, selon l'étape 1 2. Cas réel : l'arbre de la garantie de crédit La banque Sévral accorde une garantie de crédit aux artisans. À l'étape 1, le dossier est complet avec une probabilité de 0,70. À l'étape 2, un dossier complet est remboursé avec une probabilité de 0,85, un dossier incomplet avec une probabilité de 0,55. • Un dossier complet a 15\ \% de risque de défaut (1 - 0,85), un dossier incomplet 45\ \% (1 - 0,55). • Le risque de défaut est très différent selon l'étape 1 : les épreuves sont dépendantes. • 0,15 0,45 : c'est la lecture de ces deux nombres qui prouve la dépendance. 3. Piège : lire une probabilité locale comme une probabilité globale Sur l'arbre, 0,45 est la probabilité de défaut sachant dossier incomplet. L'annoncer comme « probabilité de défaut » revient à oublier que 70\ \% des dossiers sont complets et ne présentent que 15\ \% de risque : le risque global, 24\ \%, est bien plus faible. Second piège : confondre une feuille et une branche. La feuille vaut 0,105, elle s'obtient en multipliant 0,70 0,15 ; la branche du second niveau vaut 0,15, elle se lit seule. 4. Un arbre se remplit dans l'ordre La méthode de construction tient en quatre gestes, et elle sert quel que soit le nombre d'étapes : premièrement, écrire les issues de la première épreuve ; deuxièmement, vérifier que leurs probabilités font 1 ; troisièmement, faire de même au niveau suivant ; quatrièmement, ne calculer les feuilles que lorsque l'on en a besoin. • Les probabilités locales se lisent sur l'arbre, elles ne se calculent pas à la lecture. • Une probabilité manquante se retrouve par 1 - p : les deux branches d'un nœud s'additionnent à 1. • Une feuille se calcule en multipliant le long du chemin, de la racine jusqu'à elle.

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