Fluctuation d'échantillonnage et intervalle de confiance des fréquences observées

1ère Technologique · Mathématiques STMG 1ère

À retenir

• f = succèsépreuves est une fréquence observée : elle dépend de l'échantillon, la probabilité non. • L'amplitude de la fluctuation est divisée par 2 quand le nombre d'épreuves est multiplié par 4. • Ordres de grandeur usuels : 8 à 10 points sur 100 épreuves, 4 sur 400, 2 sur 1\ 600. • Une fréquence observée dans la bande de fluctuation reste compatible avec la probabilité : la bande, et non le chiffre, est l'information utile.

Le cours

1. Ce que la fréquence observée fait d'une probabilité La société constate un taux de retour de 20\ \% sur ses commandes. Ce taux n'est pas directement observable : il faut l'estimer par une fréquence, c'est-à-dire le rapport du nombre de retours au nombre de commandes observées. Et une fréquence calculée sur un échantillon n'est jamais égale au taux stable. • f = nombre de succèsnombre d'épreuves : la fréquence observée dépend de l'échantillon. • Deux échantillons de même taille donnent deux fréquences différentes : c'est la fluctuation d'échantillonnage. • À long terme, la fréquence se stabilise autour de la probabilité : on parle de stabilisation des fréquences. • Le tableau ci-dessous donne, pour un taux de 20\ \%, la plage où tombent environ 95\ \% des fréquences observées ; l'amplitude est l'écart habituel maximal entre f et p, de chaque côté. Nombre d'épreuvesFréquence la plus basseFréquence la plus hauteAmplitude de la fluctuation 1000,120,288 points 4000,160,244 points 1\ 6000,180,222 points 2. Une règle pour estimer la fluctuation L'amplitude de la fluctuation diminue quand le nombre d'épreuves augmente. On retient une règle pratique : l'amplitude est divisée par 2 lorsque le nombre d'épreuves est multiplié par 4. Elle prolonge le résultat vu en Seconde : l'écart entre f et p dépasse rarement 1n pour n épreuves (10 points pour n = 100), et multiplier n par 4 multiplie n par 2. • Sur 100 épreuves, l'amplitude est de l'ordre de 8 à 10 points : aucune conclusion fine n'est possible. • Sur 400 épreuves, elle est de l'ordre de 4 points ; sur 1\ 600 épreuves, de l'ordre de 2 points. • Pour aller de 8 points à 1 point, il faut donc multiplier le nombre d'épreuves par 64. 3. Piège : traiter une fréquence comme une probabilité Sur 10\ 000 commandes, la société observe 1\ 960 retours, soit une fréquence de 19,6\ \%. Annoncer « notre taux de retour est de 19,6\ \% » donne une fausse précision : 19,6\ \% est la fréquence observée sur cet échantillon, pas le taux lui-même ; un autre lot de 10\ 000 commandes donnerait une valeur un peu différente. L'amplitude de la fluctuation sur 10\ 000 épreuves est au plus d'un point, car 110\ 000 = 0,01 : le taux réel est connu à environ un point près, et non au dixième de point. 4. Fluctuation et confiance : une bande, pas un nombre Les deux bandes utilisent la même amplitude a, mais ne répondent pas à la même question. Elles se resserrent quand l'échantillon grossit, et ce sont elles qui donnent le sens des mots « compatible » ou « significatif ». • Intervalle de fluctuation : on connaît p et l'on prévoit f. Sur 100 épreuves avec p = 0,20, la fréquence tombe presque toujours entre 12\ \% et 28\ \% ; sur 1\ 600 épreuves, entre 18\ \% et 22\ \%. • Intervalle de confiance : on connaît f et l'on estime p par [f - a\ ;\ f + a]. Avec f = 19,6\ \% sur 10\ 000 commandes et a 1 point, le taux réel se situe très probablement entre 18,6\ \% et 20,6\ \%. • Une fréquence observée dans la bande est compatible avec la probabilité : on ne peut pas conclure à une différence.

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