Événements incompatibles et probabilité d'une union

1ère Technologique · Mathématiques STMG 1ère

À retenir

• Deux événements sont incompatibles si P(A B) = 0 : ils ne peuvent pas se produire ensemble. • Cas incompatible : P(A B) = P(A) + P(B), sans rien retirer. • Cas général : P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B), car l'intersection a été comptée deux fois. • Une probabilité d'union est toujours inférieure ou égale à 1 : c'est le test de vraisemblance.

Le cours

1. Deux événements qui ne peuvent pas coïncider Deux événements sont incompatibles s'ils ne peuvent pas se réaliser en même temps : leur intersection est vide, donc P(A B) = 0. Une commande ne peut pas être simultanément acceptée et refusée : ce sont deux issues exclusives. • Incompatible : P(A B) = 0. Indépendant : P(A B) = P(A) P(B). Ce sont deux notions différentes : deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants. • Deux événements incompatibles qui se partagent tout le champ des possibles forment une partition. • Trois issues exclusives qui couvrent tous les cas vérifient p_1 + p_2 + p_3 = 1, comme les trois branches d'un nœud d'arbre. 2. La formule de l'union La probabilité d'une union se déduit de l'addition des probabilités. Lorsque les deux événements sont incompatibles, cette addition ne compte rien deux fois et l'on obtient P(A B) = P(A) + P(B). Sinon, il faut retirer la partie comptée deux fois. • Cas général : P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B). • Cas incompatible : P(A B) = 0, donc P(A B) = P(A) + P(B). • Contrôle de vraisemblance : une probabilité d'union ne peut jamais dépasser 1. Situation d'un dossier de relanceProbabilitéTraitement Règlement obtenu avant relance0,15Aucun appel Relance acceptée, échéancier obtenu0,55Échéancier suivi Contentieux, dossier transmis au juriste0,30Procédure Total1Les trois cas se partagent tous les dossiers 3. Piège : additionner des événements qui se recouvrent Chez un distributeur de l'enseigne, 46\ \% des clients sont du nord et 38\ \% possèdent une carte de fidélité. Ces deux populations se recouvrent : l'addition donnerait 84\ \%, ce qui est possible mais faux ici, car 21\ \% des clients sont les deux. Il faut donc retirer l'intersection. Le test en une seconde : si la somme dépasse 1, l'addition est impossible ; si elle est inférieure à 1 mais que les événements se recouvrent, le résultat reste faux. 4. Exploitation en gestion : un plan de relance Un plan de relance chiffre son audience par addition d'ensembles disjoints : clients joints par téléphone, clients visités, clients relancés par lettre. Tant que les catégories sont exclusives, l'addition des probabilités est exacte, et l'on peut retrouver la taille d'une catégorie manquante par différence. • Avec R « réglé avant relance » et E « échéancier obtenu » : P(R E) = 0,15 + 0,55 = 0,70 ; sept dossiers sur dix relèvent du recouvrement amiable. • Le reste, 30\ \%, part en contentieux : c'est la seule issue qui reste si l'on exclut les deux premières. • Problème inverse : si l'on connaît le total et une catégorie, l'autre vaut 1 - p.

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