Bilan : Synthèse et méthode sur Risque commercial, probabilités conditionnelles et arbres de décision

1ère Technologique · Mathématiques STMG 1ère

À retenir

• L'ordre du chapitre : issues, tableau croisé ou arbre, probabilités locales, feuilles, contrôle des totaux, seuil. • Le contrôle des totaux, qui doivent faire 1, est obligatoire : il détecte toute erreur de construction. • P_A(B) = P(B) teste l'indépendance ; P_A(B) = P(A B)/P(A) donne le conditionnement. • Décision : P(réussite) > pertegain + perte, gain net de la prime : c'est la condition d'un gain moyen espéré positif. • Une fréquence observée se lit avec la fluctuation, jamais comme une probabilité exacte.

Le cours

1. Quatre outils pour un risque commercial Le risque commercial se ramène à quatre lectures successives : on mesure un taux, on conditionne selon un contexte, on combine des épreuves, puis on décide. Chaque outil répond à une question précise, et l'ordre dans lequel on les enchaîne est toujours le même. • Un tableau croisé donne des proportions conditionnelles : celluleligne ou colonne. • Un arbre pondéré donne les probabilités locales, et les feuilles se calculent le long d'un chemin. • L'indépendance donne P(A B) = P(A) P(B) ; sans elle, on utilise P_A(B) = P(A B)/P(A). • Une fréquence donne un ordre de grandeur, à une fluctuation près qu'il faut chiffrer. Commande Dossier complet Dossier incomplet 0,80 0,20 0,90 0,10 0,40 0,60 Réussite : 0,72 Échec : 0,08 Réussite : 0,08 Échec : 0,12 Les deux chemins de réussite donnent 0,72 + 0,08 = 0,80 Seuil de l'option : 0,625, donc 0,80 le dépasse : option recommandée 2. La méthode complète, en cinq étapes Cinq étapes suffisent pour traiter un problème de décision en gestion, et elles se conduisent toujours dans cet ordre : premièrement, identifier les issues possibles ; deuxièmement, construire l'arbre ou le tableau croisé ; troisièmement, calculer les probabilités locales, puis les feuilles ; quatrièmement, vérifier que les totaux font bien 1 ; cinquièmement, comparer la probabilité obtenue au seuil de décision. • Étape 3 : la feuille vaut le produit des probabilités locales le long du chemin. • Étape 4 : le contrôle des totaux détecte une issue oubliée ou un calcul faux. • Étape 5 : seuil pertegain + perte, celui qui rend le gain moyen espéré positif, puis recommandation écrite. Question poséeOutilÉcriture Quelle proportion des dossiers de cette catégorie échoue ?Tableau croiséP_A(B) = celluleligne ou colonne Quelle est la probabilité d'un enchaînement de deux épreuves ?Arbre pondérép_1 p_2 le long du chemin Les deux épreuves sont-elles indépendantes ?Test d'égalitéP_A(B) = P(B) Un écart observé est-il significatif ?Fluctuationécart comparé à l'amplitude 1n Faut-il retenir l'option ?Seuil de décisionP(réussite) > pertegain+perte 3. Les pièges du chapitre Premier piège : le dénominateur. Une probabilité se calcule sur la population qui peut subir l'événement : clients d'un secteur, commandes d'une famille, retours d'une période. Deuxième piège : la confusion entre branche et feuille, donc entre probabilité conditionnelle et probabilité globale. Troisième piège : l'illusion de précision, qui consiste à traiter une fréquence observée comme une probabilité exacte, sans tenir compte de la fluctuation. Un quatrième piège, plus rare mais coûteux : l'inversion du conditionnement, qui consiste à lire P_A(B) comme P_B(A) et à conclure qu'une population représente la même part dans l'activité et dans les incidents. 4. Rédiger une conclusion de gestion Une conclusion de gestion se rédige en quatre lignes, toujours dans le même ordre : le modèle retenu et ses hypothèses, le calcul, le seuil et la décision, la condition de surveillance qui ferait changer la décision. • Modèle : « deux épreuves dépendantes : le dossier complet conditionne le remboursement ». • Calcul : « 0,80 0,90 + 0,20 0,40 = 0,80 ». • Décision : « seuil 0,625, probabilité 0,80 : la commande est recommandée ». • Surveillance : « la décision bascule si plus de 55\ \% des dossiers sont incomplets, car alors 0,90 - 0,50x < 0,625 ».

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