Règle du produit pour deux événements indépendants

1ère Technologique · Mathématiques STMG 1ère

À retenir

• P(A B) = P(A) P(B) si et seulement si A et B sont indépendants. • Une intersection est toujours inférieure ou égale à chacune des deux probabilités : 0,8096 < 0,88 et 0,8096 < 0,92. • L'événement « au moins un incident » vaut 1 - P(A) P(B) : on passe par le contraire. • Indépendant signifie « sans influence », jamais « impossible ensemble » : incompatible donne P = 0.

Le cours

1. La règle des produits La société de transport Carreliv fait appel à deux prestataires indépendants. L'un livre à la date annoncée, l'autre livre un colis conforme à la commande. On note A l'événement « livré à l'heure » et B l'événement « colis conforme ». Lorsque les deux événements sont indépendants, la probabilité de leur intersection, « A et B », est le produit de leurs probabilités. • P(A B) = P(A) P(B) : c'est la règle des produits, valable uniquement si A et B sont indépendants. • Sur l'arbre, c'est la lecture : la feuille vaut le produit des deux branches qui y mènent. • Le résultat est une intersection, donc il est forcément inférieur ou égal à la plus petite des deux probabilités. 2. Application aux deux prestataires Avec P(A) = 0,92 et P(B) = 0,88, la probabilité d'une livraison parfaite, à la fois à l'heure et conforme, vaut 0,92 0,88 = 0,8096. Les trois autres issues se calculent aussi par des produits, avec les événements contraires : P(A) = 0,08 et P(B) = 0,12. • Retard seul, contenu conforme : 0,08 0,88 = 0,0704. • Non-conformité seule, livraison à l'heure : 0,92 0,12 = 0,1104. • Retard et non-conformité : 0,08 0,12 = 0,0096. • Contrôle : 0,8096 + 0,0704 + 0,1104 + 0,0096 = 1 : le modèle est complet. 3. Pièges d'application Indépendant n'est pas incompatible. Deux événements incompatibles ne peuvent jamais se produire ensemble, donc P(A B) = 0. Deux événements indépendants de probabilités non nulles se produisent au contraire ensemble avec la probabilité P(A) P(B) > 0 : ici, 80,96\ \% des colis. Second piège : la règle du produit ne s'applique pas à deux événements qui dépendent l'un de l'autre. Si les deux prestations sont assurées par le même transporteur, un retard peut s'accompagner plus souvent d'une erreur de préparation : les deux événements sont alors dépendants, le produit 0,8096 n'est plus justifié, et il faut connaître la probabilité de conformité sachant que le colis est livré à l'heure. 4. L'événement « au moins un incident » La question la plus fréquente en exploitation n'est pas « les deux réussites », mais « au moins un incident ». On y répond par le contraire : l'« au moins un incident » est le contraire de « aucun incident », c'est-à-dire de l'intersection. • P(au moins un incident) = 1 - P(A) P(B) = 1 - 0,8096 = 0,1904. • Sur 250 envois, cela représente 250 0,1904 = 47,6, soit environ 48 dossiers à traiter. • Additionner 0,08 et 0,12 donnerait 0,20 : la valeur exacte est plus petite, car certains colis cumulent les deux problèmes.

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